$f$ fonksiyonunun $0$ noktasında sürekli olduğunu gösteriniz.

Question

İlgili linkte yer alan $f$ fonksiyonunun $0$ noktasında sürekli olduğunu gösteriniz.

Comments

$\left\lfloor\dfrac1x\right\rfloor$  ve $f(x) =1/x$ grafiklerini karşılaştırarak $$\left\lfloor\dfrac1x\right\rfloor\le \dfrac1x$$ olmalı sanırım. Eşitsizliğin diğer ucuna da $\dfrac1x-1$ gelmeli diye düşünüyorum fakat emin olamadım. Eğer böyleyse eşitsizlikleri $x$ ile çarpıp sıkıştırma teoreminden limiti söyleyebiliriz.

---

Bahsettiğin fonksiyonların grafikleri aşağıdaki gibi.

Answer 1

Buna göre $$\dfrac{1-x}{x}\lt\left\lfloor\dfrac1x\right\rfloor\le \dfrac1x$$ eşitsizliğini yazabiliriz. $x$ ile çarparak $$1-x<x\left\lfloor\dfrac 1 x\right\rfloor \le 1$$  veya $$1 -x \gt x\left\lfloor\dfrac 1 x\right\rfloor \geq 1$$ olur. Limite geçilirse  $$\lim_{x \rightarrow 0} x \left\lfloor\dfrac 1 x\right\rfloor = 1$$ olmalı. $$f(0)=1$$ olarak tanımlandığından  fonksiyon $x=0$ da sürekli olur.