Dogal sayilar uzerine bir topoloji

Question

$\tau = \{ G \subseteq \mathbb{N} : \quad \forall_{x,y \in \mathbb{N}} (x\in G \land x|y) \implies y \in G \}$

olsun. ($x$, $y$ yi boluyorsa ikisi ayni acikkumede)

$(\mathbb{N},\tau)$ topolojik uzay midir ?

Comments

Hatta $G_{p,r} =\{p^r n:n\in\mathbb{N}\}$ için $\{G_{p,r}: p \textrm{ asal}, r\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\}$ bu topolojinin bir altbazını (subbasis) oluşturuyor.

---

öyle görünüyor. Ancak daha fazlasını yazmadan önce sanırım kurallar gereği sizin ne düşündüğünüzü/yaptığınızı bu sitede paylaşmanız gerekiyor.

---

Yani soruyu turettim :D. Bolme Bolunebilme bagintisi refleksfif ve transitif bir baglanti. Her refleksif ve transitif baglanti icin yukaridaki verilen sema bir topoloji olusturur gibi kisa bir cevap verilebilir. Aslinda boyle daha genel bir soru da sorulabilir.
(Edit sonrasi : Benzerini sormusum aslinda. Verdigim cevaptan emin degilim ama [ikinci kisim])
 

(kilit kelimeler: Alexandrov Topolojisi, Specialization Preorder)

---

halihazırda Alexandrov topolojisi türettiğin sorunun 4/4'lük cevabı. Ben de ilgini çekebilecek birkaç şey ekleyeyim: sorudaki preorder aslında bir kısmi sıralama. Dahası $m\wedge n = obeb(m,n)$, $m\vee n = okek(m,n)$ ile $\mathbb{N}$ alttan sınırlı bir distributive lattice olur. $\mathbb{N}$'e dışardan bir nokta ekleyelim ($\infty$), ve $(n\leq \infty\hspace{3mm}\forall n\in\mathbb{N})$ ile preorder'i (dolayısıyla da topolojiyi) genişletelim. Bizim $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ üstten de sınırlı distributive lattice olur, yani bounded distributive lattice olur. Bu türden uzayları spectral space'lere eşleyen bir çeşit Stone representation theorem mevcut. Umarım yazdıklarım laf kalabalığı düzeyini aşıp ilgini çekebilecek yöne bir kapı açabilmiştir. Selam ve sevgiyle ...

---

Cok tesekkur ederim yorumlariniz icin. Stone represantation theorem / latis ve boolean cebirleri ile baglantisini bilmiyordum. Cok tesekkur ederim arastiracak cok sey verdiniz. Ufak bir vikipedi taramasi sonucunda Scott topolojisine denk geldim. Gercekten ilginc gorunuyor. Bir programci olarak da denotational semantics ile baglantisinin olmasi cok ilgi uyandirdi bende.

 

Alexandrov topolojisi konseptine, daha once bu sitede sorulan "sonlu  $C$ kumesi uzerine yazilabilecek butun topolojileri bulan bir algoritma" sorusuna cevap ararken denk gelmistim.

Kendi kendime bilgisayarda deneyler yaparken su ozellikleri farkettim bazilarini ispatlayabildim.
$\leq$ bagintisi icin soyle bir $T$ matrisi olusturalim. 

$T_{i,j}  = 1 \iff i \leq j$ 

$T_{i,j}  = 0 \iff i \nleq j$ 

1. $T_1 \otimes T_2 \quad$ bize  $T_1$  ve $T_2$ nin product topolojisini veriyor. (Burada $\otimes$ islemi kroeneker carpimi)
2. $T_1 \oplus T_2 \quad$ bize  $T_1$  ve $T_2$ nin sum topolojisini veriyor.
   (Burada $\oplus$ islemi $$\begin{bmatrix} T_1 & 0\\ 0 & T_2 \end{bmatrix}$$ seklinde veriliyor)
3. $T_1$ in $n$ inci satirini ve sutununu silmek gene bir topoloji uretiyor. (yanilmiyorsam subspace topolojiye denk geliyor bu)
4. $T_1$ in iki noktasini birbirine "yapistirmak" icin noktalara denk gelen sutunlarin ve satirlarin "veya (or)" liyoruz. iki noktanin sutunlarini ve satirlarini silip yeni elde ettigimiz sutunu ve satiri yerlestiriyoruz.
5. $T_1$ in determinanti ya $0$ ya $1$ oluyor. Bu bize $T_1$ in $T_0$ olup olmadigini soyluyor sanirim.  

 

---

Buraya yorum yazıyorum ki altına cevap gelirse notifikasyon gelsin. Ben de bu topolojiye ilgi duyuyorum ama bizimkiler latis değil.

---

Latis olmasi icin preorder disinda bir de poset olmasi gerekiyor degil mi ? dogru anlamis miyim?