Sonsuz satranç tahtasıyla ilgili bir Umo sorusu

Question

Sonsuz bir satranç tahtasından 25 kare nasıl seçilirse seçilsin ortak köşesi olmayan n tanesi bulunabiliyorsa,n en çok kaçtır?

 

Not:Seçtiğimiz kareler satranç tahtasında ayrık olarak bulunmamak zorunda mı?Öyle bir zorunluluk yoksa cevap 25 olmuyor mu?Eğer öyle bir zorunluluk varsa neden var?Cevap için şimdiden teşekkürler.

Comments

"25 kare nasıl seçilirse seçilsin" kısmına dikkat et.

---

Hocam o halde bütün kareleri birbirinden ayrık bir şekilde seçsek cevap 25 olur değil mi?Fakat cevap anahtarında cevap için 7 diyor.

---

Soruda o kast edilmiyor.

"25 kare nasıl seçilirse seçilsin" : kareleri biz seçmiyoruz.

 Karşı taraf, hangi 25 kare seçerse seçsin, biz, köşeleri ortak olmayan, n tane kare bulabilmeliyiz.

---

Tamamdır hocam anladım çok teşekkürler.

Answer 1

Önce $4$ renk kullanarak sonsuz satranç tahtasını aşağıdaki desende boyayalım.

Aynı renkle boyanmış olan karelerin ortak köşesi olmadığına dikkat edelim. Şimdi bize verilen $25$ karenin her biri bu $4$ renkten birinde bulunacağı için, güvercin yuvası prensibine göre aynı renge sahip en az $\left\lfloor \dfrac{25}{4} \right\rfloor + 1 = 7$ kare bulunur. Yani daima, ortak köşesi olmayan $n=7$ kare seçebiliriz. $25$ kareden, ortak köşesi olmayan $8$ kare seçemeyeceğimiz bir düzenleme örneği de vardır. Aşağıdaki çizimde böyle $25$ kare verilmiştir. Bu yüzden $n<8$ olup $n_{\max} = 7$ dir.

 

$\color{red}{\text{Not:}}$ Problem $2004$ Tübitak Lise 1. Aşama Sınavı'nda sorulmuştur. Problemle ilk uğraştığım zamanlarda, $5\times 5$ kare çizersek, komşu kare içerme bakımından en kötü konfigürasyonun oluşacağını düşünmüştüm. Bu şekilde, $9$ kare elde edebiliyoruz. Problemin seçenekleri $7, 8, 9, 10, 11$ olup $9$ yanıtı da seçeneklerde vardır. Yani tam bir ispat yapılamadığında, çeldiriciliği yüksek bir sorudur.