$7$ kişi, zemin katta bulunan bir asansöre binip, her katta en az bir kişi inecek şekilde $4$ kat çıkıyor ve dördüncü katta asansör tamamen boşalıyor. Bu asansör kaç farklı şekilde kullanılır?

Question

Merhabalar:

$7$ kişi, zemin katta bulunan bir asansöre binip, her katta en az bir kişi inecek şekilde $4$ kat çıkıyor ve dördüncü katta asansör tamamen boşalıyor. Bu asansör kaç farklı şekilde kullanılır?

$$A)8400,\quad B)8449,\quad C)9114,\quad D)9114,\quad E)9149$$  

$k_1,k_2,k_3,k_4$ bu asansörden her katta inen kişi sayısı dersek $k_1+k_2+k_3+k_4=7$ denklemi elde ediliyor ($k_i\geq 1$ koşuluyla). Ancak bu inen $7$ kişinin hangisinin ineceği farklılık yaratacağı için bu $7$ kişiyi özdeş kabul edemeyiz,  kombinasyonla seçim işlemini yaparken katlarda inen kişi sayısını kaç farklı şekilde ayarlayabileceğimizi bilmek için yine de $k_1+k_2+k_3+k_4=7$ denklemini çözmek zorundayız... Bu denklemin altsınır göz önünde bulundurularak $\binom{6}{3}$ tane çözümü vardır. Sonra her katta en az bir kişi bulunacağı için $\dbinom{7}{4}$ gibi bir seçim işlemi ile başlamam gerektiğini düşündüm. Kalan $3$ kişiden $3$'ü de tek türlü seçilecektir: $\dbinom{3}{3}$ olarak. Seçtiğim $4$ kişinin aynı zamanda aralarında $4!$'lik bir sıralaması da olacak yani: $$\dbinom{6}{3}\cdot\dbinom{7}{4}\cdot4!=16800$$ olmalıdır. En eğlenceli kısmı ise bunun şıklarda olmadığını fark edip, mutlaka bir şeyi iki defa saymışımdır diyerek ikiye bölmek.

Tam olarak nerede hata yaptığımı anlayamadım, işlem hatası değildir umarım. 

Önerileriniz nelerdir?

Comments

Galiba hatanın sebebi işlem sırası. Anladığım kadarıyla sen önce boş kalmaması için her kata bi kişi yerleştirip faktöriyelini aldın sonra kalanları dağıttın. Ama aynı işlemi ters sırayla yapma olanağımız da var. Yani önce 2 veya 3 kişinin binebileceği katları ve kişileri belirleyip sonra kalan 4 kişiyi her kata 1 kişi yerleştirerek aynı işlemleri tersten yaparak çözebilirdik. O yüzden $2!$'e bölmeliyiz(gibi geldi bana)

---

Bana da mantıklı göründü, bu doğruysa süper olur çünkü büyük sayılar için gerçekten işimiz kolaylaşmış olacak.

Answer 1

Eğer katlarda inen kisilerin indiği sırada önemli olsaydı sizce ne olurdu?

Bu sıra önemli değilse   yani 1.katta inen kisiler icin A ve B dersek AB ve BA aynı duruma karsılık gelirse katlarda inen kişi sayılarını bulduktan sonra bu katlarda inen kişilere göre gelecek olan farklı durumları permütasyon ile değil kombinasyon ile  hesaplarız.C(6,3)  a+b+c+d=7 esitligini saglayan sayma sayıları kümesindeki (a,b,c,d) sıralı dörtlülerini verir.Bileşenleri aynı olan sıralı dörtlüler için yapılacak kombinasyon hesaplarında ayni sonuca çıkılacağına göre (1,1,1,4) (1,1,2,3) (1,2,2,2) dörtlülerinde önce kombinasyon hesabı yapılıp sonra bu bileşenlerin yer değiştirmesi göz önüne alınmali.Örneğin asansörlerin üçünde bir, birinde dört kisi olacak sekilde  C(7,4).C(7,1).C(7,1).C(7,1).(4!/3!) kadar farklı durumdan bahsedilebilir.Buradan tüm durumların toplamı 8400 geliyor.Daha pratik bir yol olabilir tabi.Kişi sayısı daha çok olsaydı işin içinden çıkmak bir hayli güç olurdu.

Comments

$20$ tane çözüm var diye dörtlülerin permütasyonuna bakmaya üşenmişim:) Teşekkür ederim:)