UMO GEOMETRI çember sorusu

Question

Dar açılı bir ABC üçgeninde BC kenarına ait yükseklik C den geçen ve AB doğrusuna A da teğet olan çemberi ikinci kez K de kesiyor. Benzer şekilde AC kenarına ait yükseklik C den geçen ve AB doğrusuna B de teğet olan çemberi ikinci kez L de kesiyor. |CK|=12, |KL|=9 ise |CL| uzunluğu nun alabileceği değerleri toplamı kaçtır?

Answer 1

Geometri sorularının çözümlerine mümkünse uygun bir şekil eklemek, çözümün takibi ve anlaşılırlığı açısından çok faydalı olur. Ancak ben bilgisayarda şekil çizimi yapamadığım için çözümü kendi kağıdıma çizdiğim şekile göre yazacağım.

 $A$ dan inilen dikme ayağı $H$ ve $B$ den inilen dikme ayağı $T$  noktası olsun.

Çemberde aynı yayı gören teğet-kiriş açı ile çevre açının ölçüleri eşit olduğundan,
$m(ACK)=m(BAK)$ dir. $AHB$ dik üçgeninde $m(BAK)=90-m(ABC)$ olduğundan $m(ACK)=90-m(ABC)..........(1)$ olur.

Benzer biçimde,

$m(BCL)=m(ABL)$  ve $ ABT$ dik üçgeninde $m(ABT)=90-m(BAC)$ olduğundan $m(BCL)=90-m(BAC)..........(2)$ olur.

$(1),(2)$ den  $ m(ACK)+m(BCL)=180-[m(ABC)+m(BAC)]$ elde edilir.   $ABC$ dar açılı üçgeninde $m(ABC)+m(BAC)=180-m(ACB)$ olduğundan

$m(ACK)+m(BCL)=m(ACB)$ olur.  Bu ise $C,K,L$ noktalarının dorusal olduğunu gösterir. Yani $[CK$ ışını ile $[CL$ ışını çakışıktır.  O halde  ya $|CL|=|CK|+|KL|$ dır ya da $|CK|=|CK|-|KL|$ dır.

$|CK|=12+9=21$ ya da $|CK|=12-9=3$ olur.