Question

$\frac1a+\frac1b=\frac3{2018}$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b$ doğal sayı çiftlerini bulunuz.

2018 yılında, ABD ve Kanada da lisans öğrencilerinin katılabildiği Putnam sınavında sorulmuştur.

(Orta Öğretim Olimpiyatlarında sorulabilecek türden bir soru)

Comments

$\dfrac{2}{1009}\gt\dfrac{3}{2018}\gt\dfrac{1}{1009}$ yazılabilir. Baştaki ve sondaki kesirleri $1/a +1/b$ şeklinde yazabiliyorum. Bunu yaparken $1/a=1/(a+1)+1/a(a+1)$ eşitliğini kullandım. Fakat devamı gelmedi.

Answer 1

EK: Bazı işlem hatalarını düzelttim (teşekkürler alperçay)

Denklemi düzenleyip:

$3ab-2018a-2018b=0$ şekline getirelim. (EK : önce her iki tarafı $3$ ile çarptıktan sonra) Her iki tarafa da $2018^2$ eklenirse, sol taraf çarpanlara ayrılabiliyor.

$(3a-2018)(3b-2018)=2018^2=2^2\cdot1009^2$ ($1009$ bir asal sayıdır.)

Sol taraftaki çarpanlar tamsayı ve ikisi de $\equiv1\mod4$ olduğu için, Aritmetiğin Temel Teoreminden,

$3a-2018=1,\ 3b-2018=2018^2$ ya da

$3a-2018=4,\ 3b-2018=1009^2$ ya da,

$3a-2018=1009,\ 3b-2018=4\cdot1009$ ya da yukarıdaki eşitliklerde, $a$ ile $b$ nin yer değiştirdiği durumlar olmalıdır. 

Bunlar da, bize $\{a,b\}=\{673,2018\times 673\},\{674,1009\times 337\},\{1009,2018\}$ çözümlerini verir.

(Biraz daha uzun çözüm:

$3ab=2018(a+b)$ eşitliğinden, önce, $a\mid 2018b$ ve $b\mid 2018a$, daha sonra ($\mathbf{a< b}$ durumunda) , $1009\mid b$ elde edilir.

Daha sonra da, $b=1009k \ (k\in\mathbb{N}^+)$ yazıp, olası $k$ ve $a,b$ değerleri bulunur.)

Answer 2

Burada kanıtlanan teoreme göre $1/a+1/b=m/n$ denkleminin çözümlerinin olması için  $(d_1,d_2)=1$ ,$d_1|n$, $d_2|n$, $m|d_1+d_2$ olacak şekilde $d_1,d_2$ sayıları mevcut olmalıdır. Bu durumda çözümler $a=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_1}$,   $b=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_2}$ biçimindedir. Buna göre çözümleri bulmak için $2018$ sayısının bölenlerinden aralarında asal ve $3|d_1+d_2$ şartını sağlayan bölen çiftlerini kullanmak  yeterli.

$(d_1,d_2)=(1,2)$ alındığında $a=2018$, $b=1009$

$(d_1,d_2)=(2,1009)$ alındığında $a=1009.337$, $b=674$

$(d_1,d_2)=(1,2018)$ alındığında $a=2018.673$, $b=673$ bulunur.