$\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{2009}$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b$ tamsayılarını bulunuz.

Question

$\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{2009}$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b$ (negatif olmayan) tamsayılarını bulunuz.

(2009 da, bir ülkenin Matematik Olimpiyatlarında sorulmuş)

Comments

Her iki tarafın karesini alarak başlayalım. İlerleyen adımlarda karekökten kurtulmak için tekrar kare alalım.

 

$\begin{array}{rcl} \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2009} & \Rightarrow & a+b+2\sqrt{ab}=2009 \\ \\ & \Rightarrow & 2\sqrt{ab}=2009-a-b \\ \\ & \Rightarrow & 4ab=2009^2+a^2+b^2+2ab-4018a-4018b \\ \\ & \Rightarrow & 0=2009^2+a^2+b^2-2ab-4018a-4018b \\ \\ & \Rightarrow & (a-b)^2=4018a+4018b-2009^2 \\ \\ & \Rightarrow & (a-b)^2=2009\cdot(2a+2b-2009) \\ \\ & \Rightarrow & (a-b)^2=7^2\cdot 41\cdot (2a+2b-2009) \end{array}$

 

Bu eşitliği elde ederiz. Bundan sonra biraz daha kafa yorarak istenen sayıları bulabiliriz diye düşünüyorum.

---

$\sqrt x + \sqrt y = \sqrt{2000}$ şeklinde Antalya Matematik Olimpiyatı/ 2000/Lise 2-3/1. Aşama/10 nolu soru olarak daha önce benzeri sorulmuş.

Kaynak: Matematik Dünyası, Temmuz 2000, Cilt 9, Sayı 3

Answer 1

Soru, $2009$ British Math Olympiad 2. Aşama'da sorulmuş bir problemdir. Çözüme geçmeden önce, sınavın yapısı ile ilgili biraz bilgi verebilirim.

BMO1 sınavları son yıllarda genelde Kasım ayının sonunda veya Aralık ayının başlarında yapılıyor. $2021$ BMO1 sınavı da birkaç gün önce yapıldı. Sınavda $6$ soru için $3,5$ saat süre veriliyor ve ispata dayalı olarak çözüm isteniyor. Her soru $10$ puan üzerinden değerlendirilir ve kağıtlar elde okunduğu için doğru yapılan yerler için kısmi puanlama verilir. Genelde $5.$ ve $6.$ sorular daha zorlu olarak gelir. Kabaca ilk $100$'e giren öğrenciler öğrenci bu sınavdan başarılı sayılır ve bir üst tura geçer. Son yıllarda $40$ puan ve üstü almak BMO1'den geçmek için yeterlidir.

 

BMO2 ise Ocak ayı içinde yapılır. Yani $2021$ BMO1'den geçenler için $2.$ aşama sınavı $2022$ Ocak'ta olmaktadır. Bu sebeple BMO1 soru kağıdında $2021/2022$ BMO1 şeklinde bir başlık bulunur. $2.$ Aşama sınavı $4$ problemden oluşur ve yine her soru $10$'ar puandır. Bu sınavın da süresi $3,5$ saattir. Fakat genelde bu sorular BMO1'den daha zorludur ve çözümleri uzundur. Belli bir bilgi birikimi ve deneyim ile $2$ soru bir şekilde yapılabilir. $1$ soru bu ikisinden biraz daha zorludur ama kısmi puan alınabilir. Bundan tam puan almayı az sayıda öğrenci başarır. Kalan $1$ soru ise genelde oldukça yüksek bir mücadele ister ve nadir sayıda öğrenci tarafından tam puan alınabilir.

 

1. Çözüm [Eksik Çözümüm]: Bu soru bana ilk sorulduğunda çoktan seçmeli test amacıyla yazılmış bir soru olduğunu düşünerek hızlı bir çözüm yapmıştım. Eksik olduğunu düşündüğüm kısmı en sonda açıklayacağım:

$2009 = 7^2 \cdot 41$ olduğundan $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 7\sqrt{41}$ olup $a = 41x^2$, $b=41y^2$ biçiminde olmalıdır. ($x, y$ negatif olmayan tam sayılardır.) Böylece $x+y = 7$ olup tüm çözümler

$(x,y) = (7, 0), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6), (0,7)$ 

kullanılarak $8$ tane $(a,b)$ sıralı ikilisi elde edilir.

 

2. Çözüm [Tam Çözüm]: $a = (\sqrt{2009} - \sqrt{b})^2$ yazıp düzenleyelim: $a - b -2009 = - 14\sqrt{41b}$ yazalım. Sol taraf bir tam sayı olduğundan $\sqrt{41b}$ ifadesi de bir tam sayı olmalıdır. Buradan $b=41y^2$ biçiminde olması gerektiğini buluruz. Bunu ana denklemde yazarsak $a=41x^2$ formunda olması gerektiğini de görürüz. ($x,y$ negatif olmayan tam sayılardır.) Böylece $x+y = 7$ denklemi kullanılarak 1. Çözüm'de olduğu gibi tam $8$ tane $(a,b)$ sıralı ikilisi elde edilir.

 

Peki, 1. Çözüm'deki kusur neydi? $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 7\sqrt{41}$ için $a = 41x^2$, $b=41y^2$ formundaki sayılar denklemi sağlıyor ancak tüm çözümler bu formda mıdır? Yoksa başka çözümler de olabilir miydi? Bundan (o aşamada) emin olmadığımız için 1. çözüm kusurludur. İkinci çözümde ise " $\sqrt{41b}$ ifadesi de bir tam sayı olmalıdır " sonucuna ulaşıtıktan sonra başka formda bir çözüm olmadığını iyice anlamış oluyoruz.

Comments

İkinci kısmı  şöyle de gösterilebilir:

Şöyle de çözülebilir:

$2009=a+b+2\sqrt{ab}$ oluşundan, $\sqrt{ab}$ tamsayıdır.

(Sayılardan biri 0 ise, yegane çözümlerin $(0,2009),(2009,0)$  olduğu aşikar. $a,b\neq0$ iken)

$a=c^2p_1p_2\cdots p_n$ ($p_i$ er farklı asallar, $c$ pozitif tamsayı)

$\sqrt{ab}$ tamsayı olduğu için $b=d^2p_1p_2\cdots p_n$ ($d$ pozitif tamsayı) olmak zorundadır.

Buradan $2009=7^2\cdot41=p_1p_2\cdots p_n(c^2+d^2+2cd)=p_1p_2\cdots p_n(c+d)^2$ olur.

Buradan da $p_1p_2\cdots p_n=41,\ c+d=7$ elde ediir. Buradan da, daha önce bulunanlardan farklı çözüm olmadığı görülür.  (lokman gökçe nin de bulduğu gibi) tüm çözümler elde edilir.

---

Ben soruyu okuduğumda cevabindan çok aklıma takılan yer bunlar reel sayılarda ki çözüm kümesi acaba karmaşık sayılarda kaç tane çözüm kümesi olabilirdi.