Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
264 kez görüntülendi
$\frac1a+\frac1b=\frac3{2018}$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b$ doğal sayı çiftlerini bulunuz.

2018 yılında, ABD ve Kanada da lisans öğrencilerinin katılabildiği Putnam sınavında sorulmuştur.

(Orta Öğretim Olimpiyatlarında sorulabilecek türden bir soru)
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 264 kez görüntülendi
$\dfrac{2}{1009}\gt\dfrac{3}{2018}\gt\dfrac{1}{1009}$ yazılabilir. Baştaki ve sondaki kesirleri $1/a +1/b$ şeklinde yazabiliyorum. Bunu yaparken $1/a=1/(a+1)+1/a(a+1)$ eşitliğini kullandım. Fakat devamı gelmedi.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

EK: Bazı işlem hatalarını düzelttim (teşekkürler alperçay)

Denklemi düzenleyip:

$3ab-2018a-2018b=0$ şekline getirelim. (EK : önce her iki tarafı $3$ ile çarptıktan sonra) Her iki tarafa da $2018^2$ eklenirse, sol taraf çarpanlara ayrılabiliyor.

$(3a-2018)(3b-2018)=2018^2=2^2\cdot1009^2$ ($1009$ bir asal sayıdır.)

Sol taraftaki çarpanlar tamsayı ve ikisi de $\equiv1\mod4$ olduğu için, Aritmetiğin Temel Teoreminden,

$3a-2018=1,\ 3b-2018=2018^2$ ya da

$3a-2018=4,\ 3b-2018=1009^2$ ya da,

$3a-2018=1009,\ 3b-2018=4\cdot1009$ ya da yukarıdaki eşitliklerde, $a$ ile $b$ nin yer değiştirdiği durumlar olmalıdır. 

Bunlar da, bize $\{a,b\}=\{673,2018\times 673\},\{674,1009\times 337\},\{1009,2018\}$ çözümlerini verir.

(Biraz daha uzun çözüm:

$3ab=2018(a+b)$ eşitliğinden, önce, $a\mid 2018b$ ve $b\mid 2018a$, daha sonra ($\mathbf{a< b}$ durumunda) , $1009\mid b$ elde edilir.

Daha sonra da, $b=1009k \ (k\in\mathbb{N}^+)$ yazıp, olası $k$ ve $a,b$ değerleri bulunur.)

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,059,664 kullanıcı