Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
371 kez görüntülendi

(10 tabanında yazıldığında) Sağdaki 3 basamağı, soldaki 3 basamağından 1 fazla olan tüm 6 basamaklı tam kare sayıları bulunuz.

(1993 Britanya Matematik Olimpiyatları 1. turunda, böyle bir sayı bulunması sorusu sorulmuş.)

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 371 kez görüntülendi
Sağdaki üç basamağı soldaki üç basamağından 1 fazla kısmını doğru anlamış mıyım: 153154 böyle bir sayı mı?
Evet tam bu şekilde.
sixDigitNumbers=FromDigits/@Flatten/@ IntegerDigits/@Transpose@{Range[100,998],Range[101,999]};
Pick[sixDigitNumbers,IntegerQ/@Sqrt@sixDigitNumbers]
{183184,328329,528529,715716} 

 

Bilgisayar kullanmadan bulalım :-)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Sayının (10 tabanında yazılışında) soldaki 3 basamaklı kısmına $ x $ diyelim.
    Sayımız $ 1001x+1 $ olur.
    Bir $n\in\mathbb{N}  $ için $ 1001x+1 =n^2 $ olsun. $316< n<1000 $ olmak zorundadır.
    $ 1001x=n^2-1=(n-1)(n+1) $ olur.
    $ 1001\mid (n-1)(n+1) $ ama $ 1001\nmid n-1 $ ve $ 1001\nmid n+1 $ dir.
    $ 1001=7\cdot11\cdot13 $ dür, öyleyse bu 3 asal sayıdan ikisi, $ n\pm1 $ sayılarından birini, üçüncüsü de diğerini böler. $ \{p,q,r\}=\{7,11,13\} $ olsun.
    Öyleyse bir $ pq ,\ n\pm1$ den birini böler ve o sayı, $ \mod r,\ \pm2 $ ye denk olur.

($[316,1000]$ aralığında, uygun değerler  $\boxed{\textbf{koyu}}$)
    $ \begin{array}{cc}
    pq=77\text{ nin katları}& \mod 13 \\385    & 8  \\462    & 7  \\539    & 6  \\616    & 5  \\693    & 4   \\770    & 3   \\\boxed{\mathbf{847}}& \boxed{\mathbf{2 } } \\924    & 1\end{array} $
$ \begin{array}{cc}
      pq=91\text{ nin katları}    & \mod 11   \\
 364 & 1  \\
 455 & 4 \\
 546 & 7  \\
 637 & 10 \\
 \boxed{\mathbf{728}} & \boxed{\mathbf{2}}   \\
 819 & 5  \\
 910 & 8  
\end{array} $
    $ \begin{array}{cc}
         pq=143\text{ nin katları}    & \mod 7  \\
         \boxed{\mathbf{429}} & \boxed{\mathbf{2}} \\
     \boxed{\mathbf{572}} & \boxed{\mathbf{-2}} \\
         715 & 1 \\
         858 & 4 \\
    \end{array} $
$ n=846,\ n=727,\ n=428,\ n=573 $ olabilir.
$846^2=715.716$
$ 727^2=528.529 $
$ 428^2=183.184 $
$ 573^2=328.329 $ olur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Şurada sadece 183,184 ün (biraz farklı bir şekilde) bulunuşu var.

20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,358 kullanıcı