Bir $n$ için $(11111)_n=m^2$ olsun. Bu, $n^4+n^3+n^2+n+1=m^2$ olması demektir.
($(n^3)^2=n^6,\ 5$ den fazla basamaklı ve $(n^2-1)^2<n^4$ olduğundan) $m$ yi $n$ tabanında yazdığımızda 3 basamaklı olmak zorundadır.
$m=an^2+bn+c=(abc)_n\quad (0<a<n,\ 0\leq b,c<n)$ olsun.
$m^2=a^2n^4+2abn^3+(2ac+b^2)n^2+(2bc)n+c^2$ olur.
$a>1$ olsaydı $m^2\geq4n^4>n^4+n^3+n^2+n+1$ olurdu. Bu nedenle $a=1$ olmak zorundadır.
Öyleyse, $m=n^2+bn+c$ şeklindedir. $m^2=n^4+(2b)n^3+(2c+b^2)n^2+(2bc)n+c^2$ dir.
$b>0$ olsaydı, $m^2\geq n^4+2n^3+n^2>n^4+n^3+n^2+n+1$ olurdu. Öyleyse $b=0$ olmalıdır.
$m=n^2+c$ iken $m^2=n^4+(2c)n^2+c^2$ dir.
$n^4+(2c)n^2+c^2=n^4+n^3+n^2+n+1$ eşitliğinden,
(EK: $(2c)n^2+c^2=n^3+n^2+n+1$ eşitliğinden $c^2\equiv n+1\ (\!\!\!\!\mod n^2) $ elde ederiz. $0\leq c^2,n+1<n^2$ olduğundan)
$c^2=n+1$ ve $(2c)n^2=n^3+n^2$ (eşdeğer olarak $2c=n+1$) olmak zorundadır.
Bu iki eşitlikden $c=2$ ve $n=3$ bulunur.
Bu durumda, $m=(102)_3=3^2+2=11$ ve $(11111)_3=81+27+9+3+1=121$ olup, gerçekten de $(11111)_3=11^2$ oluyor.