Faktöriyel 1!.2!.3!...15!.16! çarpımından hangi çarpan çıkarılırsa geriye kalan çarpımın sonucu tam kare olur?

Question

1!.2!.3!...15!.16!  çarpımından hangi çarpan çıkarılırsa geriye kalan çarpımın sonucu tam kare olur?

 

Ben şöyle çözdüm. 16 ya kadar olan asallardan çift tane olmalı.

13 asalını 4 tane buldum

11 asalını 6 tane buldum

7 asalını 13 tane buldum. Dolayısıyla 1 tanesini atmam gerekir. Atılması gereken çarpanlardan birisi 7.

5 asalını 21 tane buldum. Atılması gereken çarpanlardan birisi de 5.

Ama 2 asalına gelince iş karıştı. Bayağı uzun sürdü.

 

İşte bunun daha basit bir yolu varmı acaba?

Comments

Neden sadece asalların kuvvetlerini düşündük.

---

valla cevaplar anlamama yardımcı olmadı.benide ilgilendiren bi konu olduğu için yorum yapma gereği duydum :]

Answer 1

ilk olarak her sayidan kendisinden sonra gelen sayi kadar gozukeceginden sayimiz $$2^{15}\cdot3^{14}\cdot4^{13}\cdots15^2\cdot16$$ olur. Kareleri attigimizda $$2\cdot4\cdot6\cdots14\cdot 16$$ kalir. Bu da $$2^8\cdot8!$$ olarak yazilabilir. Burdan da kareyi atarsak $$8!$$ kalir. 

Bu cozum sunu diyor: $8!$ sayisini atarsak geriye kalan sayi bir tam kare olur. Fakat baska bir carpani atinca da tam kare olabilir, bunun olmayacagini ispatlamadik. Bu kisim da oluyucuya kalsin.

Comments

Çözüm için teşekkürler.

---

Fakat bu sorunun tek cevabı yok. Bunu da bi düşün istersen, güzel bir eğzersiz olur...

---

Evet hocam haklısınız. Birden fazla cevap bulunabiliyor.

Answer 2

$2!=2.1!$

$4!=4.3!$

$6!=6.5!$

     $...$

$16!=16.15!$

olduğundan, ifade $(1!)^2.2.(3!)^2.4.(5!)^2.6...16!$ şeklinde yazılabilir.

tamkare ifadelerin çarpımına A diyelim.

$A.2.4.6...16=A.2^8.8!$

$A$ ve $2^8$ tamkare zaten, atılması gereken çarpan $8!$.

Comments

Teşekkürler. Ben de cevabı 70 bulmuştum.

---

Peki yukaridaki sorum hakkinda ne dusunuyorsunuz?

Soru, hangi carpan atilirsa... yani bir faktoriyel atmalisin.. $8!=(3\cdot4\cdot6\cdot8)(2\cdot5\cdot7)$ burada soldaki tam kare ve $70$ degil. Senin buldugun bu sayi $70$ ile bir tam karenin carpimi.

---

Hocam ben şöyle düşündüm.

13! , 14! , 15! ve 16! içinde birer tane 13 çarpanı olduğundan, çarpımın sonucunda $13^4$ olacaktır ve tam kare yazılabilir.

Benzer şekilde 11! , 12! , 13! , 14! , 15!  ve 16! içinde de birer tane 11 çarpanı olduğundan, çarpımda $11^6$ olacaktır.

Bu şekilde düşürerek çarpımda tek sayı adedince 2, 5 ve 7 buldum ve bunlardan birer tanesini atarsam kalanların çarpımı tam kare olur diye düşündüm. Sonuçta bu sayılar da birer çarpan değil mi?

---

Soruda "çarpan" tabiriyle kastedilen -çarpımın sonucuna eşit olan sayının bir çarpanı/böleni değil- çarpma işleminde kullanılan terimlerden biri, ki o da $1!$, $2!$, $3!$,$4!$,..., $15!$ ya da $16!$ olabilir..    

---

Anlaşılan ben, aynen dediğiniz gibi, çarpanı "çarpımın sonucuna eşit olan bir çarpanı/böleni" diye düşündüm. Emek verip çözenlere çok teşekkür ederim. Ellerinize sağlık.

---

<p> bak dostum en sondaki faktoriyel ifadesi varya onun yarısı cevaptır dene göreceksin cevap 8!
</p>
 
<p>
    <br>
</p>