$p^3+p^2+11p+2$ ifadesini asal sayı yapan kaç $p\ \textrm{asal}$ sayısı vardır?

Question

$p^3+p^2+11p+2$ ifadesini asal sayı yapan kaç $p$ asal sayısı vardır?

Comments

Bir internet sitesinde gördüm, soru ve çözümü hoşuma gitti.

---

$p=6k \pm 1$ gibi bir ipucu birakalim mi

---

Hocam ben gruplara ayırdım

$(p^2+11).(p+1)-9

Denklemine 2 verirsek asal olmuyor

3 verirsek asal oluyor

-9 uda ortak paranteze almakicin ekledim sonra çıkardım ama nereye kadar denicem onu çözemedim hocam.

---

Çözümlere bak Captan, sadece $p=3$ yi denemek yeterli.

(Bu soruyu hızlı çözmek için Fermat ın bir teoremini bilmek gerekiyor: $p$ asalına bölünmeyen her $a$ tamsayısı için $a^{p-1}\equiv 1\mod p$ olur)

(Bunu bilmeden de, özel olarak, $3$ asalı için bunun doğru olduğunu görmek zor değil)

Answer 1

$p\ne 3$ ise ifade$\!\!\mod 3$ olarak $0$a denk olur: $$\equiv p+1+11p+2 \equiv 12p+3\equiv 0 \mod 3.$$ $p=3$ içinse $71$ asalını elde ederiz.

Answer 2

$f(p)= p^3+p^2+11p+2$ diyelim. $p=3$ için $f(3) = 71$ olup asal sayıdır.

 

Eğer $p\neq 3$ ise Fermat teoreminden dolayı $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$ olup $f(p) \equiv p + 1 + 2 p  +  2 \equiv 0 \pmod{3}$ olur. $f(p)$ ve $3$ ile tam bölünebilen $3$'ten büyük bir tam sayı olduğundan, bileşik sayıdır. Yani bu durumda çözüm yoktur.

 

Sonuç olarak tek çözüm $p=3$ olur.

 

Şu problem de ilgi çekebilir.

Comments

Çözümü, soru sorulduktan 3 saat sonra göndermiştim ama 'mesajların onaylanması prosedürü'nden dolayı 2 gün sonra göndermişim gibi görünüyor. Sercan hocamın çözümünün aynısını neden tekrar yazıp gönderdiğim akla gelebilir. Ben çözüm yazarken soru çözümsüz görünüyordu, yanlış anlaşılma olmasın diye açıklamak istedim :)