Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
249 kez görüntülendi
$p^3+q^3+1=p^2q^2$ eşitliğini sağlayan tüm asal sayı ikilerini bulunuz.

(Balkan Gençler Matematik Olimpiyatları ($15{1\over2}$ yaş altı) Kıbrıs seçmelerinde sorulmuş bir soru)
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 249 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$(p,q)$ bu eşitliği sağlayan bir asal sayı çifti olsun.

$p=q$ olsaydı, bu eşitlikten, $p\mid 1$ yanlış sonucuna ulaşırdık. Öyleyse $p\neq q$ olmalıdır.

Bu asal sayılardan (denklem simetrik olduğundan) büyük olanına $p$ diyelim, $p>q$ olur.

$p^2\mid q^3+1$ olduğu görülüyor. $q^3+1=(q+1)(q^2-q+1)$ dir.

$p>q$ olduğundan $p^2>q^2-q+1$ olur, bu nedenle, $p^2\nmid q^2-q+1$ dir.

$p$ asal olduğundan, $p\mid q+1$ olmalıdır.

$q$ tek olsaydı, $p$ de tek olur ve ($p>q$ oluşundan) $p>q+1$ olurdu. Bu ise, $p\mid q+1$ olması ile çelişir.

Öyleyse $q=2$ olmalıdır. $p$ asal (EK: ya da $p>2$) ve $p\mid3$  olduğu için $p=3$ olmak zorundadır.

$p=3,\ q=2$ çiftini denklemi sağladığı kolayca görülüyor.

Denklem sistemini sağlayan biricik asal sayı çifti $\{2,3\}$ dür.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Şurada da (biraz daha uzun) bir çözümü var.

20,248 soru
21,774 cevap
73,416 yorum
2,144,294 kullanıcı