Question

$p^q+q^p$ bir asal sayı olacak şekilde tüm $p$ ve $q$ asal sayı ikililerini bulunuz.

(Zor olmayan, Olimpiyat eleme soruları düzeyinde bir soru)

Comments

Problem, $2001$ de ortaokul 1. aşama sınavında sorulmuş.

Answer 1

$p, q$ asal sayılarının her ikisi de tek sayı veya her ikisi de çift sayı iken $p^q + q^p$ çift sayı olur. $p^q + q^p$, $2$ ile bölünebilen ve $2$ den büyük bir tam sayı olduğundan asal olamaz.

 

O halde $p, q$ asal sayılarının biri çift, diğeri tek sayı olmalıdır. $p=2$, $q$ tek sayı olsun.

• $q = 3$ iken $p^q + q^p = 2^3 + 3^2 = 17$ asal sayıdır.
• $q \neq 3$ tek asal sayı iken Fermat teoreminden dolayı $q^2 \equiv 1 \pmod{3}$ tür. Diğer yandan $2^q \equiv (-1)^q \equiv -1 \pmod{3}$ olup  $p^q + q^p \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{3}$ elde edilir. $p^q + q^p$, $3$ ile bölünebilen ve $3$ ten büyük bir tam sayı olduğundan asal olamaz.

Böylece aranan $(p,q)$ ikilileri $(3,2)$ ve $(2,3)$ bulunur.