Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
198 kez görüntülendi
$p^q+q^p$ bir asal sayı olacak şekilde tüm $p$ ve $q$ asal sayı ikililerini bulunuz.

(Zor olmayan, Olimpiyat eleme soruları düzeyinde bir soru)
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.1k puan) tarafından  | 198 kez görüntülendi
Problem, $2001$ de ortaokul 1. aşama sınavında sorulmuş.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$p, q$ asal sayılarının her ikisi de tek sayı veya her ikisi de çift sayı iken $p^q + q^p$ çift sayı olur. $p^q + q^p$, $2$ ile bölünebilen ve $2$ den büyük bir tam sayı olduğundan asal olamaz.

 

O halde $p, q$ asal sayılarının biri çift, diğeri tek sayı olmalıdır. $p=2$, $q$ tek sayı olsun.

  • $q = 3$ iken $p^q + q^p = 2^3 + 3^2 = 17 $ asal sayıdır.
  • $q \neq 3$ tek asal sayı iken Fermat teoreminden dolayı $q^2 \equiv 1 \pmod{3}$ tür. Diğer yandan $2^q \equiv (-1)^q \equiv -1 \pmod{3}$ olup  $p^q + q^p \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{3}$ elde edilir. $p^q + q^p$, $3$ ile bölünebilen ve $3$ ten büyük bir tam sayı olduğundan asal olamaz.

Böylece aranan $(p,q)$ ikilileri $(3,2)$ ve $(2,3)$ bulunur.

(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,210 soru
21,736 cevap
73,302 yorum
1,909,673 kullanıcı