Düzgün Süreklilik-XII

Question

$f(x)= x \sin \frac1x $ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu, $(0,1)$ aralığı üzerinde düzgün sürekli midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Comments

$\lim\limits_{x\to 0} x \sin(1/x)=0$ ve aynı fonksiyon $(0,1]$ içinde bariz olarak sürekli çünkü $1/x$ için tek sorunlu nokta $0$.

Dolayısıyla $x\sin(1/x)$ , $[0,1]$ üzerinde sürekli dolayısıyla düzgün süreklidir ve $(0,1)$'e kısıtlanması da düzgün süreklidir.

---

Süreklilik düzgün sürekliliği gerektiriyor mu Anıl? Düzgünlük sürekliliği gerektirmiyor mu?

---

@alpercay sanıyorum Anıl [0,1] aralığının tıkız olmasından yararlanmak istedi. Tıkız bir küme üzerinde süreklilik düzgün süreklilikle aynı.

@Anıl Fonksiyon 0'da neden sürekli?

---

Evet tıkızlık kullanarak söyledim. Eğer bir fonksiyon tıkız bir kümede sürekliyse, orada düzgün süreklidir.

Aslında verilen fonksiyon 0'da tanımlı bile degil ama 0'daki genişlemesini varsaydım kapalı olarak.

$\tilde f(x)=\begin{cases}x\sin(\frac1x)\\ 0\end{cases}$

$\lim\limits_{x\to 0} x \sin(1/x)=0=\tilde f(0)$  bu limiti göstermek de kolay, yanılmıyorsam, $|sin|$, $1$ ile sınırlı $x.\lambda \to 0$ oluyor $x$ yakınlarında.

---

$x\ne 0$ için $|xsin(1/x)|\le |x|$ yazılabilir. Buradan limite geçilerek limitin $0$ olduğu kolayca görülebilir.