Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
257 kez görüntülendi
$f(x)= x \sin \frac1x $ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu, $(0,1)$ aralığı üzerinde düzgün sürekli midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 257 kez görüntülendi
$\lim\limits_{x\to 0} x \sin(1/x)=0$ ve aynı fonksiyon $(0,1]$ içinde bariz olarak sürekli çünkü $1/x$ için tek sorunlu nokta $0$.

Dolayısıyla $x\sin(1/x)$ , $[0,1]$ üzerinde sürekli dolayısıyla düzgün süreklidir ve $(0,1)$'e kısıtlanması da düzgün süreklidir.
Süreklilik düzgün sürekliliği gerektiriyor mu Anıl? Düzgünlük sürekliliği gerektirmiyor mu?
@alpercay sanıyorum Anıl [0,1] aralığının tıkız olmasından yararlanmak istedi. Tıkız bir küme üzerinde süreklilik düzgün süreklilikle aynı.

@Anıl Fonksiyon 0'da neden sürekli?
Evet tıkızlık kullanarak söyledim. Eğer bir fonksiyon tıkız bir kümede sürekliyse, orada düzgün süreklidir.

Aslında verilen fonksiyon 0'da tanımlı bile degil ama 0'daki genişlemesini varsaydım kapalı olarak.

$\tilde f(x)=\begin{cases}x\sin(\frac1x)\\ 0\end{cases}$

$\lim\limits_{x\to 0} x \sin(1/x)=0=\tilde f(0)$  bu limiti göstermek de kolay, yanılmıyorsam, $|sin|$, $1$ ile sınırlı $x.\lambda \to 0$ oluyor $x$ yakınlarında.
$x\ne 0$ için $|xsin(1/x)|\le |x|$ yazılabilir. Buradan limite geçilerek limitin $0$ olduğu kolayca görülebilir.
20,203 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,891,185 kullanıcı