Düzgün Süreklilik-XI

Question

$f(x)=\sin \frac1x$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu $(0,1)$ aralığı üzerinde düzgün sürekli midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Comments

Sürekli bir fonksiyon ile düzgün sürekli bir fonksiyonun bileşkesinin düzgünlüğünü karakterize eden bir teorem varsa direkt bir cevap verebiliriz. O zaman sinx fonksiyonu düzgün sürekli ve 1/x fonksiyonu düzgün sürekli olmadığından bileşkeleri sin(1/x) düzgün sürekli değildir deriz. Yoksa tanıma başvurabiliriz.

Answer 1

Diğer çözümden daha uzun ama tanımdan başka hiç bir şey kullanmayan başka bir çözüm:

Düzgün sürekli olduğunu varsayıp bir çelişki elde edeceğiz.

$\varepsilon=1$ alalım. Düzgün süreklilik tanımından:

$|x_1-x_2|<\delta$ ve $x_1,x_2\in (0,1)$ olduğunda $\left|\sin\frac1{x_1}-\sin\frac1{x_2}\right|<\varepsilon=1$

olacak şekilde bir $\delta>0$ sayısı vardır.

(Arşimet Özelliğini kullanarak)  $N>\frac{1}{2\pi\delta}$ olacak şekilde bir  $N$ doğal sayısı alalım.

$x_1=\frac1{2N\pi},\ x_2=\frac1{2N\pi+{\pi\over2}} $ olsun.

$x_1,x_2\in(0,1)$ ve $|x_1-x_2|<x_1<\delta$ olur. $\delta$ nın seçiminden,

$1=|0-1|=\left|\sin\frac1{x_1}-\sin\frac1{x_2}\right|<\varepsilon=1$ olur. Çelişki.

Answer 2

Düzgün sürekli fonksiyonlar Cauchy dizilerini, Cauchy dizilerine resmeder.

 

$\left(\frac1{n}\right)_{n\geq 2}$ dizisi, $(0,1)$ kümesi üzerinde  bir Cauchy dizisi olmasına karşın bu dizinin terimlerinin $f$ fonksiyonu altındaki görüntülerinden elde edilen $(\sin n)$ dizisi bir Cauchy dizisi değildir. (Neden?) Dolayısıyla $f(x)=\sin\frac1x$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu, $(0,1)$ aralığı üzerinde düzgün sürekli değildir.