Question

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerinde yansıyan ve geçişken öyle bir $\beta$ bağıntısı yazınız ki bu bağıntıya karşılık gelen topoloji, $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerindeki alışılmış topoloji olsun.

Comments

kucukesittir diyesim var

---

soyle bir makale var dursun burada. Bagintilar ve bagintilarin tanimlandiklari kumeler uzerinde olusturdugu topolojileri incelemisler. Yansiyan ve gecisken olmayan bagintilar icin de sonuclar var

---

@eloi, $``\leq"$ bağıntısını alırsak $k(A)=A$ koşulu sağlayan kümeler, $a\in\mathbb{R}$ olmak üzere $(-\infty,a]$ formundaki aralıklar olacaktır. Dolayısıyla elde edeceğimiz topolojinin kapalıları $$\mathcal{K}=\{(-\infty,a]|a\in\mathbb{R}\}\cup \{\emptyset,\mathbb{R}\},$$ dolayısıyla da topoloji $$\tau=\{(a,\infty)|a\in\mathbb{R}\}\cup \{\emptyset,\mathbb{R}\}$$ olacaktır. Yani alışılmış topolojiden farklı bir topoloji elde ediyoruz.

---

uzun dogru geldi hmm belki de $a \leq b \iff |a-b| \leq C$ gibi bir baginti gerekiyodur

---

@eloi, bu verdiğin ilişki de geçişken olmuyor.

Answer 1

Böyle bir bağıntı var olamaz.

 $\beta=\{(x,x):x\in\mathbb{R}\}$ bize, ($\forall A\in 2^X$ için $k(A)=A$ olacağı için) standart  topolojiyi vermez (ayrık topolojiyi verir)

$x\neq y,\ x,y\in\mathbb{R},\ (x,y)\in\beta $ (yani $x\leq y$) var olsun.

$A= \mathbb{R}\setminus\{y\}$ alalım, $\backslash A=\{y\}$ olur. $x\in k(\backslash A)$ olduğundan $k(\backslash A)\neq \backslash A$ olur.

Bu nedenle, $A\notin\tau$ olacaktır.

Öyleyse ($A$ standart topolojiye ait olduğundan) $\tau,\ \mathbb{R}$  üzerindeki standart topoloji olamaz.

Soru: Bunu nasıl (kolayca) genelleştirebiliriz?

Comments

bu bagintilarla (gecisken ve yansimali) olusturalan tum topolojilerin, topoloji aksyomlarina ekstra olarak acik kumelerin sonsuz kesisimlerinin de topolojide olacagini ekleyebilir miyiz? (sanirim boyle topolojilerin ozel bir adi var Alexandrovv topolojisi deniyor)