Pozitif tam sayı terimli bir dizi sorusu

Question

İlk terimi pozitif tam sayı olan bir dizide,her terime en büyük rakamı eklenerek bir sonraki  terim elde ediliyor. Bu dizinin en çok kaç ardışık terimi tek sayı olabilir? (UMO-2008)

Comments

1) Bu dizinin ilk teriminin son rakamı(birler basamağı)  $\{0,2,4,6,8\}$ kümesinin bir elemanı ise ilk terimin içerdiği en büyük rakam tek rakam olmalı ve son rakamdan da büyük olmalıdır.  Mesela son rakam 8 ise en büyük rakam  9 olmalı ki ikinci terim tek sayı olsun.Fakat bu durumda üçüncü terim çift olacaktır. İlk terimin son rakamı hangi çift rakam olursa olsun üçüncü terim daima çift sayı olacaktır.Dolayısıyla böyle bir dizide en fazla ardışık iki terim tek sayı olabiliyor.

2)Dizinin ilk teriminin son rakamı $\{1,3,5,7,9\}$ kümesinin bir elemanı ise olası durumlara;

a) Son rakam 9 ise,bu durumda bu terimin en büyük rakamı da 9 olacak ve  ikinci terim çift olacaktır. Bu sebele son rakam 9 dan küçük tek bir rakam ve toplamın tek sayı olması için de bu terimin en büyük rakamı mutlaka çift bir rakam olmalıdır. Yani en fazla 8 olabilir.

b) Eğer ilk terimin birler basamağı 1 ve en büyük rakamı da 2,4,6,8 dan birisi ise üçüncü terim çift sayı olacak ve ardışık tek sayı olan terimlerin sayısı iki olacaktır.

c) Eğer ilk terimin birler basamağı 3, en büyük rakamı 4,6 dan birisi ise üçüncü terim,  ise dördüncü terim çifttir.

d)Eğer dizinin ilk teriminin son rakamı 5 ve en büyük rakam 6,8 den birisi ise en fazla üç ardışık tek sayı olan terim elde edilmektedir.

e) Eğer dizinin ilk teriminin birler basamağı 7 ve en büyük terimi  8 ise (örneğin ilk terim $\{807,817,827,837,847,857\}$ kümesinin bir elemanı iken) beş ardışık tek sayı  olan terim elde edilebilmektedir. örneğin ilk terim 807 ise 815,823,831,839 şeklinde beş ardışık tek terim oluşur.
Acaba en fazla beş tek terim mi elde ediliyor? Yoksa daha fazlası mümkün mü?  Böyle bir dizinin en fazla 6 tane ardışık teriminin olamayacağını nasıl ispatlarım acaba?

---

Evet, en fazla 5 terim olabilir, nedeni: 5 tane tek rakam var.

Önce şunu gösterebiliriz: en büyük basamak hep aynı (çift) rakam olmalı. Gerisi zor değil.

---

102, 104, 108, 116, 122, 124, 128, 136, 142, 146, 152.

Soruyu ardışık çift sayı diye sorsak, kaç olur en fazla? 11 tane buldum ilk denemede.

800, 808, 816, 824, 832, ..., 888. 12 oldu.

3'e bölündüğünde aynı sayıyı versinler diye değiştirsek?

300, 303, 306, 312, 315 ilk denemem.

Aslında 3'ün katı ya da 9'un katı olsun istesek, istediğimiz uzunlukta bulabiliyoruz.

900, 909, ... , 999.  Burada 12 terim var.

9000, 9009, ...., 9999 Burada 112 terim var. Gibi.

Ama 3'e bolununce kalan 1 olsun istesem?

901, 910, 919, ..., 991

9001, 9010, 9019, ..., 9028, 9991

Yine istediğim uzunlukta bir dizi elde edebiliyorum. 3'e bolununce 2 kalani versin istesem de aynı. Demek ki 3'e bolununce diye değiştirsek soruyu çok ilginç olmuyor.

4 ile bolununce kalan diye değiştirsek?

Answer 1

Güzel bir soru.

(sadece tek olan ilk terimi birinci terim gibi düşünmemizde bir sakınca yok, yazma kolaylığı bakımından o şekilde varsayacağım) En az 5 terim yazılabileceğini zaten bulmuş Mehmet Toktaş. Daha fazla (tek olan) terim yazılamayacağını gösterelim.

Bir sonraki terimin de tek olması, yalnızca, o terimin en büyük rakamının çift olması ile mümkündür.

Bir tamsayıya bir rakam eklendiğinde (birler basamağındaki hariç) diğer rakamları ya aynı kalır ya da 1 artar (9 ise 0 olur ama bizim durumumuzda, belki sonuncu terim hariç, bu mümkün değil), en büyük rakam 1 artarsa o  basamak tek (o basamak veya birler basamağı en büyük) olur ve dizimizi tek terimleri orada biter.

Bu nedenle, (belki sonuncu terim hariç) dizimizin terimlerinde en büyük basamak hep aynı (çift) rakamdır.

İlk  terimin en büyük rakamına $k$ diyelim, $k\in\{2,4,6,8\}$ dir.

$k=2$ ise ilk terimin birler basamağı 1 olmak zorundadır ve bir sonraki terimin en büyük basamağı (birler basmağındaki) 3 olur, dizi sona erer (sonraki terim çift olur). En çok 2 terim yazılabilir.

$k=4$ ise ilk terimin birler basamağı 1 veya 3 olmak zorundadır.  2. terimin birler basamağı 5 veya 7 (tek) olur diğerleri değişmez ve bu en büyük basamak tek olur dizi biter. (en çok 2 terim yazabiliriz)

$k=6$ ise ilk terimin birler basamağı 1, 3  veya 5 olmak zorundadır. 1 veya 3 ise 2. terimin en büyük basamağı (birler basamağı) tek olup dizi sona erer (en çok 2 terim yazabiliriz). 5 ise 3 terim yazabiliriz. (605,611,617 gibi)

$k=8$ ise ilk terimin birler basamağı 1, 3, 5  veya 7 olmak zorundadır.

Teker teker incelenirse, birler basamağı sadece 7 olduğunda (birler basamağı, sırasıyla: 7,5,3,1 ve 9 olan) 5 terim yazabiliriz (aksi halde, beşinci terime varmadan, birler basamağı 9 olur). Bunlardan birini Mehmet Toktaş yazmış zaten, başka pek çok daha yazılabilir.

Edit: bir kaç yerde ifadeyi düzelttim ve basamağın 9 olması durumunu (olamayacağını) da ekledim.

Comments

Sorunun çözümüne zaman ayırıp emek harcadığınız için çok teşekkür ederim Doğan Hocam. Hocam ilk  yorumunuzda "Evet, en fazla 5 terim olabilir,nedeni: 5 tane tek rakam var." diyorsunuz. Bu yaklaşım neden doğru acaba? Dizinin birler basamağı $\{...7,...5,...3,...1,...5,...3,...7,\}$ şeklinde ya da başkaca olan ardışık terimlerinin olamayacağını ispatlamadan bunu söylemek ne kadar doğru olur acaba? Bence böyle bir dizinin terimlerinin son iki basamağı hariç diğer rakamları aynı olmak zorundadır. Ayrıca da terimlerin hiç birinin 9 rakamını bulundurmaması gerekiyor. Bütün bu yorumlardan dizinin ardışık tek tam sayı olan bütün terimlerinin  $\{ab7\}$  şeklinde olması gerekiyor. Burada  $a$, en büyük rakamı 8 olan n basamaklı bir  doğal sayı ve  $b\in\{0,1,2,3,4,5,7\}$ dır.

---

Haklısınız,  o yeterli neden değil. (ben şöyle düşünmüştüm: eklenecek sayı çift olduğundan, aynı birler basamağını elde etmek için 5 in katı kadar terim geçmek gerekir. Ama bu soruyu çözmeye yetmiyor.)

Daha sonra belirttiğim, (son terim hariç) en büyük rakamın aynı olması çok daha önemli.

---

Esasen bu dizinin ardışık tek sayı olan terimlerinin sayısının en fazla 5 adet alduğunu daha fazla olamayacağını ispatlamamız gerekiyor.  $k$   pozitif bir tam sayı olmak üzere, varsayalım ki dizinin 6 adet ardışık tek sayı olan terimi vardır. Bunlar  $a_k,a_{k+1},a_{k+2},a_{k+3},a_{k+4},a_{k+5}$  olsun.  $a_1$ in en büyük rakamı $x$, $a_{k+1}$ in $y$ olsun. Bu terimler tek sayı olduklarından, her terimin en büyük rakamı tek olamaz,çift olmak zorundadır. Dolayısıyla $x$ ve $y$ çift sayı olup, $x\leq 8,\quad y\leq8$ dir.  Bundan dolayı hem$x$  hem de $y$ bulundukları terimlerin son terimleri olamaz. Yani $a_k,a_{k+1},a_{k+2},a_{k+3},a_{k+4},a_{k+5}$  terimlerinin son iki basamakları hariç  diğer kısımları aynıdır.

1-) Eğer $x>y$ ise, $x$ rakamı $a_k$ nın son iki rakamından birisidir. Ancak $a_k$ tek sayı olduğundan  son rakam olamaz. $x$ rakamı $a_k$  nın sondan ikinci rakamıdır ve  $x\leq 8$ olduğundan,  $a_{k+1}$ nin onlar basamağı ya $y=x$ ya da  $y=x+1$ olacak ve bu da $x>y$ koşulu ile çelişecektir.

2-)Eğer $x<y$ ise, $y$ rakamı çift olduğundan, $a_{k+1}$ nin onlar basamağındaki rakam olmak zorundadır. Öte yandandan $x$ ve $y$ çift olduklarından $ x\leq y-2$ olacaktır. Dolayısıyla $x=a_{k+1}-a_k>10$ olup bir çelişki elde ederiz.

Bu iki durumdan dolayı, yani $x=y$ durumundan dizinin ardışık tek sayı olan $a_k,a_{k+1},a_{k+2},a_{k+3},a_{k+4},a_{k+5}$  terimleri bir aritmetik dizi oluşturur.  Bu dizinin ortak farkına $d$ diyelim. $d\leq8$ olduğundan  bu dizinin birler basamağı ${1,3,5,7} $ olabilir.  Güvercin yuvası ilkesine göre ilk beş terim arasında son rakamları aynı olan iki terim vardır.  Dolayısıyla iki terim arasındaki olası farkların ${d,2d,3d,4d}$  kümesindeki bir sayı $10$ ile bölünmek zorundadır. Buradan  $5|d$ yi  elde ederiz. Oysa $d$ sıfır olmayan çift bir rakamdı .Öyleyse bu mümkün değıldir. yani dizinin ardışık 6 terimi olamaz. En fazla beş terim ardışık terim tek sayı olabilir.

---

Son ($a_{k+1}$) terimin son rakamı 9 olabilir.

Araya, şu eklenirse oluyor:

$a_k,\cdots,a_{k+4}$ (ilk beş) terimlerinin son basamağı 9 olamaz.

Gerisi aynı.