Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
362 kez görüntülendi
Boş fonksiyon türevlenebilir mi?
Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından  | 362 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Boş fonksiyon türevlenebilirdir (tanım kümesi üzerinde türevlenebilirliği kastediyoruz) diyebilmemiz için her noktada türevlenebilir olduğunu göstermemiz gerekir. Yanıta geçmeden önce bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması ne demek onu hatırlatalım:

$A\subseteq\mathbb{R},$ $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon ve $a\in A\cap D(A)$ (yani $a$ noktası hem fonksiyonun tanım kümesinde hem de fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası) olsun. Eğer $$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ limiti GERÇEL SAYI olarak mevcut ise $f$ fonksiyonuna $a$ noktasında türevlenebilirdir denir ve bu limit değeri genellikle $f'(a)$ ile gösterilir. Eğer $f$ fonksiyonu $A\cap D(A)$ kümesindeki her noktada türevlenebilir ise o zaman $f$ fonksiyonuna $A$'da türevlenebilir ya da kısaca türevlenebilir fonksiyon denir.

Biçimsel olarak $$(A\subseteq\mathbb{R})(f\in\mathbb{R}^A)(a\in A\cap D(A))$$

$$:\Rightarrow$$

$$f, \ a\text{'da türevlenebilir}:\Leftrightarrow (\exists L\in\mathbb{R})\left(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L\right)$$

$$f, \ (A\text{'da) türevlenebilir}:\Leftrightarrow (\forall a\in A\cap D(A))(\exists L\in\mathbb{R})\left(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L\right)$$

şeklinde ifade edilir.

Bu bilgiler ışığı altında soru, $A=\emptyset$ ise $$``(\forall a\in A\cap D(A))(\exists L\in\mathbb{R})\left(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L\right)"$$ önermesi doğru mudur? sorusuna dönüştü. Bu önermenin doğru olduğunu biliyoruz. Demek ki boş fonksiyon türevlenebilir bir fonksiyonmuş. 

(11.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,277 kullanıcı