Fonksiyon, boş fonksiyon ise tek veya çift fonksiyon olabilir mi?

Question

Eğer bir fonksiyonun çözüm kümesi boş kümeyse fonksiyonda teklik çiftlik aranır mı? Fonksiyon tek ya da çift olabilir mi? Eğer olabiliyorsa nasıl olabiliyor? Çift fonksiyonların Y eksenine tek fonksiyonların orjine göre simetrik olduğunu söylüyoruz. Fakat fonksiyon boş kümeyse ortada bir grafik yoktur dolayısıyla herhangi bir simetriklik olamaz, nasıl tek çift diyebiliyoruz? Burada bir mantık hatası yok mudur?

Comments

"Fonksiyonun çözüm kümesi boş kümeyse ... " yazmışsın. Fonksiyonun çözüm kümesinin boş küme olmasından neyi kastediyorsun? Boş fonksiyonu mu kastediyorsun? Bir de bildiğin tek çift fonksiyon tanımını yazar mısın?

---

Boş küme olması yani f(x)=tanımsız Örneğin f(x)=x/0 veya karekök ve log içi eksi olmaz fakat fonksiyonda bu ifadeler var yani çözüm kümesi boş küme. Benim sorumda fonksiyonda ln içi < 0 oluyor fakat -x koyduğumda tek fonksiyon kuralına uyuyor. Tek çift olması fonksiyonun -x haliyle ile alakalı örneğin cosx fonksiyonu çift eksiyi yutuyor. f(-x)=f(x) oluyor. sinx fonksiyonu tek eksiyi önüne alıyor f(-x)=-f(x). Benim sorumda da tanımsız yani tanım kümesi boş küme olan bir fonksiyon var. -x koyunca tek olma durumunu sağlıyor. Ama boş küme olduğu için tek olup olmadığına karar veremedim.

---

1) Fonksiyonun çözüm kümesi diye bir kavram yok. Matematikte, bir denklemin çözüm kümesi söz konusu edilir. $f$ gerçel değişkenli ve gerçel değerli bir fonksiyon olmak üzere $f(x)=0$ koşulu sağlayan $x$'lerin oluşturduğu küme, $f$ fonksiyonunun çözüm kümesi değil, $f$ fonksiyonunun sıfırlarının kümesidir. Bir fonksiyonun sıfırları ile bir denklemin kökleri farklı şeylerdir.

2) "$f(x)=$ tanımsız" diye bir şey de yok.

3) "$f(x)=\frac{x}{0}$" diye de bir şey yok.

Bunların hepsi anlamsız. Ben senin şunu sormak istediğini tahmin ediyorum:

Boş fonksiyon tek midir? Boş fonksiyon çift midir?

Sorun bu mu?

Answer 1

$A\subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere $A$ kümesine ait olan her gerçel sayının -toplamaya göre- tersi de $A$ kümesinde ise bu kümeye simetrik küme diyelim. Şimdi tek ve çift fonksiyon tanımlarını hatırlayalım:

$A\subseteq\mathbb{R}$ simetrik bir küme ve $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$f, \text{ tek fonksiyon}:\Leftrightarrow (\forall x\in A)(f(-x)=-f(x))$$ ve

$$f, \text{ çift fonksiyon}:\Leftrightarrow (\forall x\in A)(f(-x)=f(x)).$$

Burada ilk olarak şunu belirtmekte fayda var:

Bir fonksiyonun tek veya çift olmasından veya olmamasından bahsedebilmek için fonksiyonun tanım kümesinin simetrik bir küme olması gerekir. Aksi taktirde fonksiyonun tek veya çift olması veya olmaması SÖZ KONUSU edilmez. Mesela $$f(x)=\ln x$$ kuralı ile verilen $$f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu için "bu $f$ fonksiyonu tek midir veya çift midir" sorusu anlamsız bir sorudur. Sorunun anlamlı olması için -gerçel değişkenli ve gerçel değerli- bir fonksiyonun tanım kümesinin simetrik bir küme olması gerekir.

Şimdi tekrar tanıma dönecek olursak demek ki tanım kümesi simetrik olan bir fonksiyonun TEK olması $$(\forall x\in A)(f(-x)=-f(x))$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyor. Benzer şekilde tanım kümesi simetrik olan bir fonksiyonun ÇİFT olması $$(\forall x\in A)(f(-x)=f(x))$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyor. 

Senin sorun ise boş fonksiyon tek midir veya çift midir? Öncelikle boş fonksiyon tek midir veya çift midir sorusunu sorabilmemiz için boş fonksiyonun tanım kümesi simetrik bir küme midir diye bakmamız lazım. Boş fonksiyonun tanım kümesi ise boş $(\emptyset)$ kümedir. Acaba boş küme simetrik bir küme midir? Boş küme simetrik bir küme ise boş fonksiyonun tek veya çift olup olmamasını araştırmaya hakkımız var demektir. En üstte verdiğim tanımı matematiksel ifadelerle şöyle yazarız:

$$A, \text{ simetrik küme}:\Leftrightarrow \forall x (x\in A\Leftrightarrow -x\in A).$$

Şimdi $A$ gördüğümüz yere $\emptyset$ (boş küme) yazarsak

$$\forall x (x\in \emptyset\Leftrightarrow -x\in \emptyset)$$ önermesini elde ederiz. Bu önerme doğru ise $\emptyset$ simetrik kümedir diyeceğiz. Bu önerme doğru mudur? Ne dersin? Senin yorumuna göre sonra kaldığımız yerden devam ederiz.