Question

$|x|.\sin x$ , $x=0$'da türevlenebilir mi?

$x=0$'da sürekli olduğu aşikar.

cevabın türevlenebilir olduğunu biliyotum ama kafamda oturtamadım çünkü $|x|$, $x=0$'da türevlenemiyor. Bu çarpımın sonucu nasıl türevlenebilir diyoruz?

Kafamda başka bir örnek düşündüm. Şu formatta $1=x.\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{x}$'in $0$'da türevlenemez olduğu halde $1$ her yerde türevlenebilir.

 

Answer 1

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f(x)=|x|\sin x$ fonksiyonunu alalım. Önce sağdan türev tanımını kullanalım:

$$f'(0^+) = \lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x) -f(0)}{x} = \lim_{x\to 0^+}\dfrac{x\sin x}{x} = 0$$ olur.

 

Şimdi de soldan türev tanımını yazıyoruz:

$$f'(0^-) = \lim_{x\to 0^-}\dfrac{f(x) -f(0)}{x} = \lim_{x\to 0^-}\dfrac{-x\sin x}{x} = 0$$ olur.

 

O halde her iki yönlü türev de eşit olup aranan türev $f'(0)=0$ bulunur.