Limit-Süreklilik

Question

Bir fonksiyonun $x_0$ noktasında limiti olsun. Limit olduğundan süreklilikten söz edebiliriz.$x_0$ noktasında sürekli olabilir veya olmayadabilir.

Şimdi şöyle bir örnek düşündüm . $\dfrac{1}{x^2}$ fonksiyonunun $x=0$ noktasında limiti var ama aynı noktada sürekli değil.

Sorum şu olacaktı. $0$ noktası $\dfrac{1}{x^2}$'nin tanım kümesinde değil. Tanım kümesinde olmayan bir nokta için süreklilikten söz edebilme hakkımız var mı?

Comments

ama benim bu yazdıklarıma göre süreksiz fonksiyon bulamayız

---

"Limit olduğundan süreklilikten söz edebiliriz."

İyi bir ifade değil. Limit olmasa da "sürekli olmak / olmamak" anlamlıdır.

Buna benzer, fonksiyon bir noktada tanımsız olduğunda, "süreklilikten söz edemeyiz" da sıkça kullanılan bir ifade.

Pratik yönden bakıldığında, bence, iyi bir tercih değil.

Fonksiyon bir noktada tanımsız ise, "tanımsız olduğu için süreksizdir." demek pratikte daha kullanışlıdır.

---

hocam, bir noktada sürekli olmanın tanımından limitin olması gerekmez mi?

---

Limitin var olması için yoğunlaşma noktası olması lazım, sürekli olması için de o noktada tanımlı olması lazım. Yoğunlaşma noktası olmayan bir noktada her fonksiyon süreklidir ama limitten bahsedemeyiz.

---

aynen haklısın

$sinx$ her yerde sürekli ama $x\to \infty$ limit yok

---

"bir noktada sürekli olmanın tanımından limitin olması gerekmez mi?"

Sürekliliğin tanımını yapabilr misin?

(bu tanım maalesef orta öğretim düzeyinde, (bazı zorunlu nedenlerle) lisans düzeyinde yapılandan farklı (ve hatalı) yapılıyor)

---

$f(x)$ fonksiyonunun $x_0$ noktasındaki sürekli olma koşulu

$f(x_0)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$

---

demek istediğim süreklilik tanımı buydu

---

(Orta öğretim düzeyinde yapılan) Bu tanım bazı durumlarda yetersiz.

"$f(x)=\sqrt{x^2(x-1)}$ fonksiyonu $x_0=0$ da sürekli midir?"

sorusuna, bu tanımla, cevap verilebilir mi?

---

$f(0)$ ve $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$ tanımlı değil.

---

$f(0)=\sqrt{0\cdot(-1)}=\sqrt{0}=0$

Limit durumu daha karmaşık:

$0$ sayısı, bu fonksiyonun (tanım kümesinde ama) tanım kümesinin bir yığılma noktası (limit noktası) değil. Bu nedenle (bu fonksiyonun bu noktadaki limiti) anlamlı değil ("limit yok"tan farklı bir durum söz konusu).

(Eğer $\varepsilon-\delta$ tanımını (bunu biliyor musun?) yine de kullanmak istersek, her gerçel sayı, limit koşulunu sağlar. Bu nedenle "limit anlamlı değildir" dedim.)

---

hocam ben nasıl hesapladıysam kökün içini $-1$ olarak bulmuştum ondan dolayı tanımlı değil yazdım

---

@DoganDonmez , Hocam bir f(x) fonksiyonu tanımlarken tanım kümesi ve değer kümesini yazmamak o fonksiyonu anlamsız yapmaz mı? Mesela f(x)=1/x diye bir fonksiyon tanımlamaya kalksak ve f(0) değerini bulamasak f(x)'in bir fonksiyon ol(a)madığını kanıtlamış oluruz. Tanım ve değer kümesini kesinlikle yazmalıyız diye düşünüyorum. Tanım ve değer kümeleri yazılmayacaksa bile "Uygun şartlar altında" ifadesi geçmeli. Ben birçok soru bankasında gördüm ki bu hataya sürekli olarak düşülüyor ve bu hataya düşenler matematikçilerin ta kendileri. Günün birinde ÖSYM bu hatayı yapsa "Soru eksiktir, dolayısıyla hatalıdır." diyebilir miyiz? Siz bu konuda ne düşünüyorsunuz?