$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere $$f:(a,b]\to \mathbb{R}$$ fonksiyonunu ele alalım. Fonksiyonun tanım kümesinin $(D_f=(a,b])$ tüm yığılma noktalarının oluşturduğu küme $[a,b]$ kapalı aralığıdır. Şimdi bu bilgiyi ve yorumlar kısmında bahsettiğimiz bilgileri de göz önünde bulundurarak sorunu yanıtlayalım.
1) Birincisi yorumlardaki süreklilik tanımı gereği (senin yazdığın tanım değil) bu $f$ fonksiyonu için sadece tanım kümesinde $((a,b]$ aralığında$)$ bulunan noktalar için fonksiyonun sürekliliğinden veya süreksizliğinden bahsedebilirsin. Burada fonksiyonun tanım kümesinde bulunan herhangi bir noktada sürekli olması veya olmaması hususu, fonksiyonun kuralına göre değişir.
Liselerde süreklilik kavramından bahsedilirken bazen "elimizi kaldırmadan grafiğini çizebildiğimiz fonksiyonlar süreklidir" önermesinin söylendiğini çoğumuz duymuşuzdur. Bu önerme eğer fonksiyonun tanım kümesi bir ARALIK ise doğrudur. Fonksiyonun tanım kümesinin bir ARALIK olması durumda ayrıca şu bilgi de doğrudur:
"Tanım kümesi aralık olan bir fonksiyonun tanım kümesindeki bir noktada sürekli olması için gerek ve yeter koşul o noktadaki limitinin fonksiyonun o noktada aldığı değere eşit olmasıdır." Bu bilgi artık bir teorem olarak karşımıza çıkıyor. Yani bu söylemi bir fonksiyonun sürekli olması tanımı olarak veremezsin. Çünkü bu söylem sadece tanım kümesi ARALIK olan fonksiyonlar için geçerli. Ele aldığımız fonksiyonların hepsinin tanım kümesi bir aralık olmayabileceğinden bu söylem bütün fonksiyonlar için geçerli olan bir önerme olmamaktadır. Örneğin $$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun grafiğini elimizi kaldırmadan çizemememize karşın bu fonksiyon sürekli bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun sürekli olduğunu -yorumlarda verdiğimiz sürekli tanımı yardımıyla- göstermek çok kolaydır. Hatta bu fonksiyonun sürekli olduğunun kanıtı sitede mevcut. Siteyi biraz karıştırırsanız bulabilirsiniz.
Bazı matematikçiler fonksiyonun tanımlı olmadığı bir noktada fonksiyona süreksiz denmesinde bir sakınca bulunmadığını ifade ediyor. Ancak benim de benimsemiş olduğum görüş şu: Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliğinden veya süreksizliğinden bahsedebilmemiz için o noktanın mutlaka ama mutlaka tanım kümesine ait olması gerekir. Tanım kümesine ait olmayan bir noktada fonksiyon YÜREKLİDİR veya YÜREKSİZDİR söylemi ne kadar anlamsız ise SÜREKLİDİR veya SÜREKSİZDİR söylemi de o kadar anlamsızdır.
2) İkincisi yorumlardaki limit tanımı gereği (senin yazdığın tanım değil) bu fonksiyon için sadece tanım kümesinin türev kümesinde $([a,b]$ kapalı aralığında$)$ bulunan noktalar için fonksiyonun $[a,b]$ kapalı aralığındaki herhangi bir noktada limitinin var olmasından veya var olmamasından bahsedebilirsin. Mesela bu fonksiyon için $$\lim\limits_{x\to a}f(x)=?$$ sorusu $a\in D((a,b])=[a,b]$ olduğundan ANLAMLI bir soru olmasına karşın $$\lim\limits_{x\to a-1}f(x)=?$$ veya $$\lim\limits_{x\to b+2}f(x)=?$$ soruları $a-1\notin D(D_f)=[a,b]$ ve $b+2\notin D(D_f)=[a,b]$ olduğundan ANLAMSIZDIR. Ayrıca $x_0\in[a,b]$ olmak üzere bu $f$ fonksiyonunun $x_0$ noktasında limitinin var olması ya da olmaması hususu, fonksiyonun kuralına göre değişir.
Öte yandan $a$ gerçel sayısı, $(a,b]$ aralığının bir soldan yığılma noktası OLMADIĞINDAN $a$ noktasındaki sağdan limit bu fonksiyonun $a$ noktasındaki limiti olacaktır yani
$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$$
olacaktır.
3) Üçüncüsü yorumlardaki türev tanımı gereği (senin yazdığın tanım değil) bu fonksiyon için sadece hem tanım kümesinde hem de tanım kümesinin türev kümesinde $((a,b]\cap [a,b]=(a,b]$ aralığında$)$ bulunan noktalar için fonksiyonun $(a,b]$ aralığındaki herhangi bir noktada türevinin var olmasından veya olmamasından bahsedebilirsin. Mesela bu fonksiyon için $$f'(b)=?$$ sorusu ANLAMLI bir soru olmasına karşın $$f'(a)=?$$ veya $$f'(a-1)=?$$ veya $$f'(b+2)=?$$ soruları ANLAMSIZDIR. Ayrıca $x_0\in (a,b]$ olmak üzere bu $f$ fonksiyonunun $x_0$ noktasında limitinin var olması ya da olmaması hususu, fonksiyonun kuralına göre değişir. Burada $b$ noktasındaki türevin varlığını araştırırken fonksiyonun $b$ gerçel sayısından büyük olan gerçel sayılarda tanımlı olmamasından dolayı $$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(b+h)-f(b)}{h}$$ limitinin anlamlı olmadığını veya nasıl hesaplanacağı hususuna itiraz edebilirsin. Bu sorunu da şöyle aşarsın:$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(b+h)-f(b)}{h}$$ limiti yerine $$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(b)-f(b-h)}{h}$$ limitini hesaplarsın. Bu limit bir GERÇEL SAYI olarak mevcut ise fonksiyonun $b$ noktasındaki türevi bu limit değeridir dersin. Güncel yaşamda kullandığımız "teğet" terimi ile burada kullandığımız "teğet" terimi birebir aynı değil.
Örneğin $f(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f:(0,1]\to\mathbb{R}$ fonksiyonu için $f'(1)=?$ sorusu anlamlıdır ve
$$f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1)-f(1-h)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1-(1-h)^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{2h-h^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}(2-h)=2$$ olduğundan $f$ fonksiyonunun $1$ noktasındaki türevi mevcuttur ve $2$'dir.