Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
973 kez görüntülendi
Cevabı akşam vakitlerinde ekleyeceğim.
Lisans Matematik kategorisinde (129 puan) tarafından  | 973 kez görüntülendi

Riemann integralinin tanımı (parçalanış, Riemann toplamı vs.) ile çözülecek ise iyi olur.

Ama, Diferansiyel-İntegral Hesabın Temel Teoremi ile çözmenin bir yararını göremiyorum.

Hocam parçalanış ve sadece limit kullanarak cevap yazacağım.

1 cevap

0 beğenilme 1 beğenilmeme
1x2 integralini hesaplayacağız ama ondan bazı kabulleri yapalım. a,bR. f(x) a=0 olmadığı sürece her yerde sürekli o zaman a0. Şimdi P düzgün bir parçalanış ve n parçaya bölünmüş olsun ve P={x1,x2,...,xn} olsun. O halde ||P||=max1inΔxi olduğunu biliyoruz. Şimdi f(x)'i ve öyle bir xi tanımlayalım ki xi[xi,xi1] olsun. f(x)=1x2 olmalı şimdi ise Riemann Toplamını kullanalım:

 

lim||P||0ni=1f(xi)Δxi

 

Şimdi Δxi=ban olduğunu biliyoruz çünkü n adet eşit parçaya bölünmüş bir bölüntü almıştık. Dolayısıyla nihai değerlerin hepsi birbirine eşittir ve dolayısıla ban'e eşittir.

 

 

limnni=1f(xi)ban

 

 

Olur şimdi ise xi=a+i(ban) olarak alalım ve fonksiyonu kullanarak yerine yazalım:

 

limnni=11(a+i(ban))2(ban)

 

Şimdi payda kısmını ban parantezine alalım:

 

limnni=11(naba+i)2banban2

 

 

Düzenlersek:

 

limn(nba)ni=11(naba+i)2(1)

 

Şimdi bir eşitsizlik yazacağız:

 

1(naba+i)1(naba+i+1)1(naba+i)21(naba+i1)1(naba+i)(2)

 

İlk önce en soldaki eşitlsizlik ile oynayalım:

 

limn(nba)ni=1(1(naba+i)1(naba+i+1))

Teleskopik bir seri olduğu açık o halde toplamların en sonunda:

 

limn(nba)(baan+bababn+ba)=1a1b

 

 

 

Şimdi de en sağdaki eşitsizliği ele alacağız:

limn(nba)ni=1(1(naba+i1)1(naba+i))

 

 

Yeniden Teleskopik Seriyi kullanırsak:

 

limn(nba)(baanbabn)=1a1b

 

Bu haliyle 2'den Sıkıştırma Teoremini kullanarak:

 

ba1x2=1a1b

 

Olduğu yazılır.
(129 puan) tarafından 

@Arda Kılıç, Bu çözümde bazı ciddi hatalar var. Çözümlerine daha fazla özen göstermelisin.

1. a<0<b için bu sonuç doğru değil. Çünki f(x)=1x2 böyle bir aralıkta (sınırsız olduğu için) Riemann anlamında integrallenmez.

2. baf(x)dx=limnbank=1f(a+k(ba)n) her fonksiyonda doğru değildir. Sadece integrallenebilen fonksiyonlar için geçerlidir (Bunu daha önce de, başka bir problem için de yazmıştım, aşağıdaki örneğe bakınız).

Bu nedenle, öncelikle, bu fonksiyonun bu aralıkta integrallenebildiğini göstermek gerekir, bu kısım eksik kalmış.  Bunu, bir teroem ile göstermek mümkün ama sorunun amacı eşitliği hiç bir teorem kullanmadan göstermek idi. Bu da yapılabilir ama biraz daha işlem gerekiyor. EK: lim semboliktir, tam olarak bir dizinin limiti değildir.

Örnek: f(x)=\begin{cases}0, & x\in\mathbb{Q}\\ 1, & x\notin\mathbb{Q}\end{cases}

Herhangi a,b\in\mathbb{Q},\ a<b için \lim\limits_{n\to\infty}\frac{b-a}n\sum_{k=1}^\infty f\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)=0 olduğu kolayca görülür. Ama, lisans derslerinde f(x) in hiç bir aralıkta integrallenemediği kolayca gösterilir. Dolayısıyla bu durumda, problemin çözümünde kullanılan formül, her zaman doğru değildir.

Revize edeceğim hocam. Dediğiniz gibi önce a ve b'nin aralığını belirleyeceğim daha sonra integrallenebilir olduğunu göstereceğim sanırım sınırlı ve sürekli fonksiyonun integrallenebilir olduğunun aşikar olmasını kullanacağım?
"sanırım sınırlı ve sürekli fonksiyonun integrallenebilir olduğunun aşikar olmasını kullanacağım?"

(sürekli olunca, "sınırlı" demek gereksiz, kapalı sınırlı bir aralıkta her sürekli fonksiyon sınırlıdır)

Bu teoremi kullanınca artık dizi limit yöntemi geçerli oluyor.

O teorem olmadan biraz zor. O teoremin ispatı da çok zor değil, o da ispatlanabilir.
O halde evvela dediğiniz kanıtlayıp daha sonra bu kanıtı yazmak daha makûl.
20,295 soru
21,836 cevap
73,535 yorum
2,690,053 kullanıcı