Önce şunu gözlemleyelim:
Her a,b (ikisi birden 0 değil, bu durumda, 2a+3b ve a+2b ikisi birden 0 olamaz) tamsayıları için:
ebob(a,b)=ebob(2a+3b,a+2b) dir.
İspatı kolay.
Her n\in\mathbb{N} için \begin{align*}
a_{n+2}+b_{n+2}\sqrt3&=(1+\sqrt3)^{n+2}=(1+\sqrt3)^2(1+\sqrt3)^{n}\\&=(4+2\sqrt3)(a_{n}+b_{n}\sqrt3)=2(2+\sqrt3)(a_{n}+b_{n}\sqrt3)\\&=2((2a_{n}+3b_{2n})+(2b_{n}+a_{n})\sqrt3)
\end{align*}
ebob(2a_n+3b_n,a_n+2b_n)=ebob(a_n,b_n)=d_n olup, yukarıdaki eşitlikten, d_{n+2}=2d_n elde edilir.
Şimdi, ispatı Matematiksel Tümevarımla yapabiliriz:
n=0 için d_{2n}=d_{2n+1}=1=2^n olduğu açıktır.
Bir n için, d_{2n}=d_{2n+1}=2^n olsun.
Yukarıdaki eşitlikten d_{2n+2}=2d_{2n} olur, tümevarım hipotezinden, d_{2(n+1)}=2d_{2n}=2^{n+1} olur.
Benzer şekilde
d_{2(n+1)+1}=d_{2n+3}=2d_{2n+1}=2^{n+1} olur.
Tümevarım İkesinden, iddia(lar), her doğal sayı için doğrulanmş olur.