Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
138 kez görüntülendi

Problem (Lokman GÖKÇE): $(a_n), (b_n)$ pozitif tam sayı dizileri $a_n + \sqrt{3}b_n=(1+\sqrt{3})^n$ eşitliği yardımıyla tanımlanıyor. Örneğin $a_1=b_1=1$ dir. $a_n$ ile $b_n$ nin en büyük ortak böleni $d_n$ ise

$$ d_{2n} = d_{2n+1} = 2^n$$

olduğunu kanıtlayınız.
 

 

Not: Problemle uğraşmak isteyenler için süre tanımak amacıyla (doğru yaptığımı sandığım) kendi çözümümü daha sonra ekleyeceğim. İyi çalışmalar.

Lisans Matematik kategorisinde (1.4k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 138 kez görüntülendi
Güzelmiş. Lisnas düzeyi  uygun olur muydu?
$a_n$ ve $b_n$ icin acik formul buldum ama $d_n$ icin bi fikrim yok. Henuz...
ben de sunlara eristim

$a_n = \sum_{k=0}^{n/2} { n \choose2k} \sqrt{3}^{2k}$

$b_n = \sum_{k=0}^{n/2} { n \choose2k +1} \sqrt{3}^{2k}$

bunun disinda sunlari gosterdim

$a_n = 2\cdot(a_{n-1}+a_{n-2}) \quad a_1 = 1, a_2 = 4$

$b_n = 2\cdot(b_{n-1}+b_{n-2}) \quad b_1 = 1, b_2 = 2$

 

onun disinda farkettim ki

$b_{n+1} = a_n + b_n$

 

duzenleme sonrasi:

yazdiktan sonra farkettim ki

$\gcd(a_n,b_n) = \gcd(a_n+b_n , a_n ) = \gcd(b_{n+1} , a_n )$

$\gcd(a_n,b_n) = 2 \cdot \gcd(a_{n-1} + a_{n-2} , b_{n-1}+b_{n-2} )$

gibi ozdesliklerle sonuca gidilebilir gibi geldi ama toparlayamadim yeniden bakacagim
onun disinda soyle bir hesaplama yaptirdim bilgisayara

$a^{(p)}_n +\sqrt{p} b^{(p)}_n = (1+\sqrt{p})^n$

seklinde verilen $a^{(p)}_n$ ve $d^{(p)}_n$ icin yukaridaki gibi bir $d^{(p)}_n$ tanimladim ve degerleri hesapladim $p \in [1 30]$ ve $n \in [1,15]$ icin ($p$ saga dogru artiyor $n$ asagi dogru)

$ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\ 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1  \\ 4 & 1 & 2 & 1 & 8 & 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 & 8 & 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 & 8 & 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 & 8 & 1  \\ 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1  \\ 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 \\ 32 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 32 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 32 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 32 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1  \\ 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1  \\ 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1\\ 256 & 1 & 16 & 1 & 512 & 1 & 16 & 1 & 256 & 1 & 16 & 1 & 512 & 1 & 16 & 1 & 256 & 1 & 16 & 1 & 512 & 1 & 16 & 1 & 256 & 1 & 16 & 1 & 512 & 1\\ 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1\\ 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1\\ 2048 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 2048 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 2048 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 2048 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1\\ 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1\\ 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1\\ 16384 & 1 & 128 & 1 & 32768 & 1 & 128 & 1 & 16384 & 1 & 128 & 1 & 32768 & 1 & 128 & 1 & 16384 & 1 & 128 & 1 & 32768 & 1 & 128 & 1 & 16384 & 1 & 128 & 1 & 32768 & 1 \end{matrix} $

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Önce şunu gözlemleyelim:
    Her $a,b  $ (ikisi birden 0 değil, bu durumda, $2a+3b$ ve $a+2b$ ikisi birden 0 olamaz) tamsayıları için:

$ ebob(a,b)=ebob(2a+3b,a+2b) $ dir.
    İspatı kolay.
    Her $n\in\mathbb{N}$ için  \begin{align*}
        a_{n+2}+b_{n+2}\sqrt3&=(1+\sqrt3)^{n+2}=(1+\sqrt3)^2(1+\sqrt3)^{n}\\&=(4+2\sqrt3)(a_{n}+b_{n}\sqrt3)=2(2+\sqrt3)(a_{n}+b_{n}\sqrt3)\\&=2((2a_{n}+3b_{2n})+(2b_{n}+a_{n})\sqrt3)
    \end{align*}
 $ ebob(2a_n+3b_n,a_n+2b_n)=ebob(a_n,b_n)=d_n $ olup, yukarıdaki eşitlikten, $ d_{n+2}=2d_n$ elde edilir.
Şimdi, ispatı Matematiksel Tümevarımla yapabiliriz:
$ n=0 $ için $ d_{2n}=d_{2n+1}=1=2^n $ olduğu açıktır.
Bir $ n $ için, $ d_{2n}=d_{2n+1}=2^n $ olsun.
Yukarıdaki eşitlikten $ d_{2n+2}=2d_{2n}$ olur, tümevarım hipotezinden, $ d_{2(n+1)}=2d_{2n}=2^{n+1}  $ olur.

 Benzer şekilde
$ d_{2(n+1)+1}=d_{2n+3}=2d_{2n+1}=2^{n+1}  $ olur.

Tümevarım İkesinden, iddia(lar), her doğal sayı için doğrulanmş olur.
(5.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Teşekkürler Doğan hocam, ben de aşağı yukarı sizinle aynı yöntemle problemi çözdüm. (Bununla ilgili bir video çözüm hazırlamıştım, onu göndereceğim.)
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bağlantıda dakika 5:15 te bu problemin video çözümünü verdim. (Bazı küçük detaylar hariç Doğan Dönmez hocamın çözümü ile aynıdır.) Videonun başında da bu probleme fikir oluşturan başka bir soru ve çözümü de vardır.

 

(Değerli vaktini ayıran herkese teşekkürler.)

 

(1.4k puan) tarafından 
19,427 soru
21,159 cevap
70,938 yorum
25,688 kullanıcı