Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
867 kez görüntülendi

Problem (Lokman GÖKÇE): (an),(bn) pozitif tam sayı dizileri an+3bn=(1+3)n eşitliği yardımıyla tanımlanıyor. Örneğin a1=b1=1 dir. an ile bn nin en büyük ortak böleni dn ise

d2n=d2n+1=2n

olduğunu kanıtlayınız.
 

 

Not: Problemle uğraşmak isteyenler için süre tanımak amacıyla (doğru yaptığımı sandığım) kendi çözümümü daha sonra ekleyeceğim. İyi çalışmalar.

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 867 kez görüntülendi
Güzelmiş. Lisnas düzeyi  uygun olur muydu?
an ve bn icin acik formul buldum ama dn icin bi fikrim yok. Henuz...
ben de sunlara eristim

an=n/2k=0(n2k)32k

bn=n/2k=0(n2k+1)32k

bunun disinda sunlari gosterdim

an=2(an1+an2)a1=1,a2=4

bn=2(bn1+bn2)b1=1,b2=2

 

onun disinda farkettim ki

bn+1=an+bn

 

duzenleme sonrasi:

yazdiktan sonra farkettim ki

gcd(an,bn)=gcd(an+bn,an)=gcd(bn+1,an)

gcd(an,bn)=2gcd(an1+an2,bn1+bn2)

gibi ozdesliklerle sonuca gidilebilir gibi geldi ama toparlayamadim yeniden bakacagim
onun disinda soyle bir hesaplama yaptirdim bilgisayara

a(p)n+pb(p)n=(1+p)n

seklinde verilen a(p)n ve d(p)n icin yukaridaki gibi bir d(p)n tanimladim ve degerleri hesapladim p[130] ve n[1,15] icin (p saga dogru artiyor n asagi dogru)

111111111111111111111111111111212121212121212121212121212121412181214121812141218121412181814181418141814181418141814181161411614116141161411614116141161411613218164181321816418132181641813218164164181641816418164181641816418164181641128116112811611281161128116112811611281161128116112812561161512116125611615121161256116151211612561161512151213215121321512132151213215121321512132151213215121102413211024132110241321102413211024132110241321102413211024120481641409616412048164140961641204816414096164120481641409614096164140961641409616414096164140961641409616414096164140961819211281819211281819211281819211281819211281819211281819211281819211638411281327681128116384112813276811281163841128132768112811638411281327681

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Önce şunu gözlemleyelim:
    Her a,b (ikisi birden 0 değil, bu durumda, 2a+3b ve a+2b ikisi birden 0 olamaz) tamsayıları için:

ebob(a,b)=ebob(2a+3b,a+2b) dir.
    İspatı kolay.
    Her nN için  an+2+bn+23=(1+3)n+2=(1+3)2(1+3)n=(4+23)(an+bn3)=2(2+3)(an+bn3)=2((2an+3b2n)+(2bn+an)3)
 ebob(2an+3bn,an+2bn)=ebob(an,bn)=dn olup, yukarıdaki eşitlikten, dn+2=2dn elde edilir.
Şimdi, ispatı Matematiksel Tümevarımla yapabiliriz:
n=0 için d2n=d2n+1=1=2n olduğu açıktır.
Bir n için, d2n=d2n+1=2n olsun.
Yukarıdaki eşitlikten d2n+2=2d2n olur, tümevarım hipotezinden, d2(n+1)=2d2n=2n+1 olur.

 Benzer şekilde
d2(n+1)+1=d2n+3=2d2n+1=2n+1 olur.

Tümevarım İkesinden, iddia(lar), her doğal sayı için doğrulanmş olur.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Teşekkürler Doğan hocam, ben de aşağı yukarı sizinle aynı yöntemle problemi çözdüm. (Bununla ilgili bir video çözüm hazırlamıştım, onu göndereceğim.)
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bağlantıda dakika 5:15 te bu problemin video çözümünü verdim. (Bazı küçük detaylar hariç Doğan Dönmez hocamın çözümü ile aynıdır.) Videonun başında da bu probleme fikir oluşturan başka bir soru ve çözümü de vardır.

 

(Değerli vaktini ayıran herkese teşekkürler.)

 

(2.6k puan) tarafından 
20,305 soru
21,856 cevap
73,576 yorum
2,804,818 kullanıcı