Önce şunu gözlemleyelim:
Her a,b (ikisi birden 0 değil, bu durumda, 2a+3b ve a+2b ikisi birden 0 olamaz) tamsayıları için:
ebob(a,b)=ebob(2a+3b,a+2b) dir.
İspatı kolay.
Her n∈N için an+2+bn+2√3=(1+√3)n+2=(1+√3)2(1+√3)n=(4+2√3)(an+bn√3)=2(2+√3)(an+bn√3)=2((2an+3b2n)+(2bn+an)√3)
ebob(2an+3bn,an+2bn)=ebob(an,bn)=dn olup, yukarıdaki eşitlikten, dn+2=2dn elde edilir.
Şimdi, ispatı Matematiksel Tümevarımla yapabiliriz:
n=0 için d2n=d2n+1=1=2n olduğu açıktır.
Bir n için, d2n=d2n+1=2n olsun.
Yukarıdaki eşitlikten d2n+2=2d2n olur, tümevarım hipotezinden, d2(n+1)=2d2n=2n+1 olur.
Benzer şekilde
d2(n+1)+1=d2n+3=2d2n+1=2n+1 olur.
Tümevarım İkesinden, iddia(lar), her doğal sayı için doğrulanmş olur.