$a_n + \sqrt{3}b_n=(1+\sqrt{3})^n$ Dizileri

Question

Problem (Lokman GÖKÇE): $(a_n), (b_n)$ pozitif tam sayı dizileri $a_n + \sqrt{3}b_n=(1+\sqrt{3})^n$ eşitliği yardımıyla tanımlanıyor. Örneğin $a_1=b_1=1$ dir. $a_n$ ile $b_n$ nin en büyük ortak böleni $d_n$ ise

$$ d_{2n} = d_{2n+1} = 2^n$$

olduğunu kanıtlayınız.
 

 

Not: Problemle uğraşmak isteyenler için süre tanımak amacıyla (doğru yaptığımı sandığım) kendi çözümümü daha sonra ekleyeceğim. İyi çalışmalar.

Comments

Güzelmiş. Lisnas düzeyi  uygun olur muydu?

---

$a_n$ ve $b_n$ icin acik formul buldum ama $d_n$ icin bi fikrim yok. Henuz...

---

ben de sunlara eristim

$a_n = \sum_{k=0}^{n/2} { n \choose2k} \sqrt{3}^{2k}$

$b_n = \sum_{k=0}^{n/2} { n \choose2k +1} \sqrt{3}^{2k}$

bunun disinda sunlari gosterdim

$a_n = 2\cdot(a_{n-1}+a_{n-2}) \quad a_1 = 1, a_2 = 4$

$b_n = 2\cdot(b_{n-1}+b_{n-2}) \quad b_1 = 1, b_2 = 2$

 

onun disinda farkettim ki

$b_{n+1} = a_n + b_n$

 

duzenleme sonrasi:

yazdiktan sonra farkettim ki

$\gcd(a_n,b_n) = \gcd(a_n+b_n , a_n ) = \gcd(b_{n+1} , a_n )$

$\gcd(a_n,b_n) = 2 \cdot \gcd(a_{n-1} + a_{n-2} , b_{n-1}+b_{n-2} )$

gibi ozdesliklerle sonuca gidilebilir gibi geldi ama toparlayamadim yeniden bakacagim

---

onun disinda soyle bir hesaplama yaptirdim bilgisayara

$a^{(p)}_n +\sqrt{p} b^{(p)}_n = (1+\sqrt{p})^n$

seklinde verilen $a^{(p)}_n$ ve $d^{(p)}_n$ icin yukaridaki gibi bir $d^{(p)}_n$ tanimladim ve degerleri hesapladim $p \in [1 30]$ ve $n \in [1,15]$ icin ($p$ saga dogru artiyor $n$ asagi dogru)

$ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1  \\ 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1  \\ 4 & 1 & 2 & 1 & 8 & 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 & 8 & 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 & 8 & 1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 & 8 & 1  \\ 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1 & 4 & 1 & 8 & 1  \\ 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 & 4 & 1 & 16 & 1 \\ 32 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 32 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 32 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 32 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1  \\ 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1 & 8 & 1 & 64 & 1  \\ 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1 & 16 & 1 & 128 & 1\\ 256 & 1 & 16 & 1 & 512 & 1 & 16 & 1 & 256 & 1 & 16 & 1 & 512 & 1 & 16 & 1 & 256 & 1 & 16 & 1 & 512 & 1 & 16 & 1 & 256 & 1 & 16 & 1 & 512 & 1\\ 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1 & 32 & 1 & 512 & 1\\ 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1 & 32 & 1 & 1024 & 1\\ 2048 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 2048 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 2048 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 2048 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1\\ 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1 & 64 & 1 & 4096 & 1\\ 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1 & 128 & 1 & 8192 & 1\\ 16384 & 1 & 128 & 1 & 32768 & 1 & 128 & 1 & 16384 & 1 & 128 & 1 & 32768 & 1 & 128 & 1 & 16384 & 1 & 128 & 1 & 32768 & 1 & 128 & 1 & 16384 & 1 & 128 & 1 & 32768 & 1 \end{matrix} $

Answer 1

Önce şunu gözlemleyelim:
    Her $a,b  $ (ikisi birden 0 değil, bu durumda, $2a+3b$ ve $a+2b$ ikisi birden 0 olamaz) tamsayıları için:

$ ebob(a,b)=ebob(2a+3b,a+2b) $ dir.
    İspatı kolay.
    Her $n\in\mathbb{N}$ için  \begin{align*}
        a_{n+2}+b_{n+2}\sqrt3&=(1+\sqrt3)^{n+2}=(1+\sqrt3)^2(1+\sqrt3)^{n}\\&=(4+2\sqrt3)(a_{n}+b_{n}\sqrt3)=2(2+\sqrt3)(a_{n}+b_{n}\sqrt3)\\&=2((2a_{n}+3b_{2n})+(2b_{n}+a_{n})\sqrt3)
    \end{align*}
 $ ebob(2a_n+3b_n,a_n+2b_n)=ebob(a_n,b_n)=d_n $ olup, yukarıdaki eşitlikten, $ d_{n+2}=2d_n$ elde edilir.
Şimdi, ispatı Matematiksel Tümevarımla yapabiliriz:
$ n=0 $ için $ d_{2n}=d_{2n+1}=1=2^n $ olduğu açıktır.
Bir $ n $ için, $ d_{2n}=d_{2n+1}=2^n $ olsun.
Yukarıdaki eşitlikten $ d_{2n+2}=2d_{2n}$ olur, tümevarım hipotezinden, $ d_{2(n+1)}=2d_{2n}=2^{n+1}  $ olur.

 Benzer şekilde
$ d_{2(n+1)+1}=d_{2n+3}=2d_{2n+1}=2^{n+1}  $ olur.

Tümevarım İkesinden, iddia(lar), her doğal sayı için doğrulanmş olur.

Comments

Teşekkürler Doğan hocam, ben de aşağı yukarı sizinle aynı yöntemle problemi çözdüm. (Bununla ilgili bir video çözüm hazırlamıştım, onu göndereceğim.)

Answer 2

Bağlantıda dakika 5:15 te bu problemin video çözümünü verdim. (Bazı küçük detaylar hariç Doğan Dönmez hocamın çözümü ile aynıdır.) Videonun başında da bu probleme fikir oluşturan başka bir soru ve çözümü de vardır.

 

(Değerli vaktini ayıran herkese teşekkürler.)