Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
771 kez görüntülendi


Lisans Matematik kategorisinde (29 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 771 kez görüntülendi

Riemann toplamini integrale cevirmeyi denedin mi? İlk olarak toplam sembolu seklinde yaz ve 1/n'yi toplam disina at.

Ben bu soruyu yalamam ki siz yapsanız daha iyi olur

Monoton Yakınsaklık Teoremin kullanmayı dene.

Dogru. Yakinsaklik icin bu daha temel. 

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Riemann toplamının belirli integrali: $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x=\int_a^bf(x)dx$ olduğunu biliyoruz. Burada $\Delta x= \frac{b-a}{n},\quad x_i=a+\Delta x.i$       dir.    Buna göre ;

$a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{n+i}\right)$

$=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\right)$ biçiminde yazılırsa $\Delta x=\frac 1n\Rightarrow b-a=1$ olacaktır. İşlemleri kolaylaştırmak adına  $a=0,b=1$ olarak alınabilir. O zaman $x_i=0+\frac 1n.i=\frac{i}{n}$ olur. Böylece $f(x_i)=f(\frac{1}{1+x_i})$ olacaktır.

 O halde belirli integral $\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=ln|x+1|_0^1=ln2$ olur.



(19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Yorumlarda Dogan hocanin dedigi gibi monoton yakinsaklik teoremi ile basit bir sekilde gosterilebilir. Bu dizi azalan cunku $1/(2n+1)<1/(n+1)$. Zaten dizi sifir ile de alttan sinirli.  Bu bize yakinsak oldugunu verir.

Metok hoca da nereye yakinsadiginin cevabini vermis. Bu iki yontem de guzelcene kavranmali bence. 

(25.4k puan) tarafından 

Peki teşekkürler 

20,217 soru
21,750 cevap
73,348 yorum
1,974,828 kullanıcı