Question

Genel terimi $a_n=\frac1{n+1} + \frac1{n+2} +\cdots+ \frac1{2n}$ olan dizinin yakınsak oldugunu gösteriniz.

Comments

Riemann toplamini integrale cevirmeyi denedin mi? İlk olarak toplam sembolu seklinde yaz ve 1/n'yi toplam disina at.

---

Ben bu soruyu yalamam ki siz yapsanız daha iyi olur

---

Monoton Yakınsaklık Teoremin kullanmayı dene.

---

Dogru. Yakinsaklik icin bu daha temel. 

Answer 1

Riemann toplamının belirli integrali: $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x=\int_a^bf(x)dx$ olduğunu biliyoruz. Burada $\Delta x= \frac{b-a}{n},\quad x_i=a+\Delta x.i$       dir.    Buna göre ;

$a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{n+i}\right)$

$=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\right)$ biçiminde yazılırsa $\Delta x=\frac 1n\Rightarrow b-a=1$ olacaktır. İşlemleri kolaylaştırmak adına  $a=0,b=1$ olarak alınabilir. O zaman $x_i=0+\frac 1n.i=\frac{i}{n}$ olur. Böylece $f(x_i)=f(\frac{1}{1+x_i})$ olacaktır.

 O halde belirli integral $\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=ln|x+1|_0^1=ln2$ olur.

Answer 2

Yorumlarda Dogan hocanin dedigi gibi monoton yakinsaklik teoremi ile basit bir sekilde gosterilebilir. Bu dizi azalan cunku $1/(2n+1)<1/(n+1)$. Zaten dizi sifir ile de alttan sinirli.  Bu bize yakinsak oldugunu verir.

Metok hoca da nereye yakinsadiginin cevabini vermis. Bu iki yontem de guzelcene kavranmali bence. 

Comments

Peki teşekkürler