Üreteç fonksiyonlarla şöyle yapılabilir:
(an)∞n=1 böyle bir dizi olsun. f(x)=∑∞n=1anxn−1 olarak tanımlayalım
("Yakınsaklık yarıçapı pozitif mi?" sorusunu şimdilik düşünmeyelim)
Verilen eşitlik:
f(x)=a1+(a2−Aa1)x+Axf(x)+Bx2f(x) olması demektir. Bu da:
f(x)=a1+(a2−Aa1)x1−Ax−Bx2 olur. (ileride kolaylık olsun diye) 1−Ax−Bx2=(1−b1x)(1−b2x)(b1,b2∈C) olsun.
(B≠0 durumunda) Basit kesirlere ayıralım:
f(x)=c11−b1x+c21−b2x olarak yazabiliriz. Geometrik seri toplam formülünden
f(x)=c1∞∑n=1(b1x)n−1+c2∞∑n=1(b2x)n−1=∞∑n=1(c1bn−11+c2bn−12)xn−1
f(x) in iki açılımının aynı olması gerektiğinden:
an=(c1b1)bn1+(c2b2)bn2 bulunur.
Ek:
1. Bu mantık ile daha çok terimli eşitlikler ile tanımlı dizlerin formülü de bulunabilir.
2. f(x) i tanımlayan kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapının pozitif olacağını göstermek de zor değildir.
3. Dizide indis 0 dan başlatılsa ispat biraz daha güzel görünecekti (kuvvet serisinde ∑anxn−1 değil ∑anxn olacaktı).