Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.9k kez görüntülendi

Merhabalar geçenlerde şöyle bir kuralla karşılaştım (olduğu gibi yazıyorum)

an=Aan1+Ban2 ise an=xn için;

xn=Axn1+Bxn2 dönüşümü sağlanır (buraya kadar anladım) ve bu dönüşümün karakteristik denklemi;

x2AxB=0'dır. Denklemin kökleri x1,x2 ise c1,c2R için;

an=c1(x1)n+c2(x2)n'dir. 

Buralara kadar bir sorunum yok ancak bu konuyu biraz daha detaylı anlamak istiyorum;

an=xn dönüşümü nasıl/neden sağlandı?

xn'in karakteristik denklemi nedir tam olarak?

Karakteristik denklemler nasıl bulunur?

Daha farklı durumlarda karakteristik denklem ve dönüşümleri nasıl yapabilirim?

Bu 4 soru kafama takıldı, bu kuralları kullanarak üç beş soru çözdüm ama mesela fibonacci dizisinin genel terimini nasıl bulabilirim? (veya karakteristik denklem rasyonel köklü olmadığı zamanlar, üreteç fonksiyonlarla nasıl yapabilirim?)

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (895 puan) tarafından  | 1.9k kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Basitten baslamak onemli.

1) n1 icin an=1 ise dizi sabittir.

2) n1 icin an+1=ran ise bu bir geometrik dizidir. (Bunu gormek zor degil). Dolayisi ile an=rn1a1 olur.

3) A ve B gercel sayilar n1 icin an+2=Aan+1+Ban olsun. Burada biraz durmak lazim. Yukaridaki iki ornek de aslinda bir geometrik dizi. Ilk olarak sunu sorabiliriz. Bunu bir geometrik dizi saglar mi? Dogal bir soru.

Oncesinde birkac gozlem de yapilabilir. 

Gozlem 0: an=0 bunu her zaman saglar.
 
Gozlem 1: c0 ise bn=can ise  ifadeyi c ile carptigimizda bn=Abn+Bbn elde ederiz ve bn de bunu saglar.

Gozlem 2: an ve bn saglarsa an+bn de saglar. 

Gozlem 3: an ve bn saglarsa s ve t gercel sayilari icin san+tbn de saglar. 

Bu nedenle bu sekilde olanlara lineer deriz.

4) Geometrik dizi sorusuna donersek. Bir a0rn bunun cozumumu demek yerine Gozlem 0-1 geregi rn bunun cozumumu diyebiliriz. 

5) Iki farkli cozum gelirse Gozlem 3 geregi c1rn1+c2rn2 bunun bir cozumu diyebiliriz. 

Bu fikir ise yaradi. 

__________________

a1=0 ve a2=2 ise ve n1 icin an+2=an ise kompleks kokler gelir ama sorun degil. an=(i)n+(i)n olur. Bu da dort ile  periodik 0,2,0,2,0,2,0,2,. Fibonacci icin ise kokler gercel fakat rasyonel degil. Burada da sorun yok (1+5)+(15)=2 olmasi gibi rasyonel olmayanlar birbirini eliyor.

(25.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Yani Fibonacci için de aynı yöntemi kullanarak genel bir terim bulabiliriz. Çok teşekkür ederim hocam:))

Teşekkür ederim hocam:)

http://matkafasi.com/18738 

burada da Fibonacci ile ilgili var birseyler.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Üreteç fonksiyonlarla şöyle yapılabilir:

(an)n=1 böyle bir dizi olsun. f(x)=n=1anxn1 olarak tanımlayalım

("Yakınsaklık yarıçapı pozitif mi?" sorusunu şimdilik düşünmeyelim)

Verilen eşitlik:

f(x)=a1+(a2Aa1)x+Axf(x)+Bx2f(x) olması demektir. Bu da:

f(x)=a1+(a2Aa1)x1AxBx2 olur.  (ileride kolaylık olsun diye) 1AxBx2=(1b1x)(1b2x)(b1,b2C) olsun. 

(B0 durumunda) Basit kesirlere ayıralım:

f(x)=c11b1x+c21b2x olarak yazabiliriz. Geometrik seri toplam formülünden

f(x)=c1n=1(b1x)n1+c2n=1(b2x)n1=n=1(c1bn11+c2bn12)xn1

f(x) in iki açılımının aynı olması gerektiğinden:

an=(c1b1)bn1+(c2b2)bn2 bulunur.

Ek: 

1. Bu mantık ile daha çok terimli eşitlikler ile tanımlı dizlerin formülü de bulunabilir.

2. f(x) i tanımlayan kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapının pozitif olacağını göstermek de zor değildir.

3. Dizide indis 0 dan başlatılsa ispat biraz daha güzel  görünecekti (kuvvet serisinde anxn1 değil anxn olacaktı).


(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Bu cevaptaki kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapının pozitif olduğunu gösteriniz.
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,860,027 kullanıcı