Bu cevaptaki kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapının pozitif olduğunu gösteriniz.

Question

Her $n\geq3$ için $ a_n=A a_{n-1}+B a_{n-2}$ ($A,B$ sabitler) koşulunu sağlayan bir diziden oluşturulan 

$\sum_{n=1}^\infty a_nx^{n-1}$ kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapının pozitif olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$r=\max\{|a_1|,|a_2|,|A|+|B|,1\}$ olsun.  $r\geq1$ olup, her $n\geq2$ için $|a_n|\leq r^{n-1}$ olduğu tümevarımla  gösterilir. 

(Tümevarım adımının özeti: $|a_{n+1}|\leq |A|r^{n-1}+|B|r^{n-2}\leq (|A|+|B|)r^{n-1}\leq r^{n}$)

Daha sonra da:

 $|x|<\frac1r$ iken (her $n\geq2$ için)  $r|x|<1$ ve $|a_nx^{n-1}|\leq\left(r|x|\right)^{n-1}$  olur, Geometrik Seriler için Yakınsaklık Teoremi ve Karşılaştırma Testinden,$\sum a_nx^{n-1}$ mutlak yakınsak olur. Yakınsaklık yarıçapı en az $\frac1r$ dir, dolayısıyla pozitifdir.

Soru: bu sonucu kullanarak, ($B\neq0$ durumunda) $\sum a_nx^{n-1}$  kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapının tam olarak (o çözümdeki $b_1$ ve  $b_2$ sayıları için)  $\min\left\{\frac1{|b_1|},\frac1{|b_2|}\right\}$ olduğunu gösteriniz.

Bu çözümdeki (ve asıl soruya verdiğim cevaptaki) yöntem, ($ k\in\mathbb{N}$ sabit olmak üzere) $a_{n+k}=A_1a_{n+k-1}+\cdots+A_ka_n$ şeklindeki dizilere de uyarlanabilir.

Answer 2

$a_1,a_2,A,B>0$ özel durumunda daha hızlı çözüm:

(Bu durumda, dizideki tüm terimlerin pozitif olacağı aşikardır)

$\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=L$ olsun. (Fibonnaci dizisinde bu limitin $\phi$ (altın oran) olduğunu hatırlayın.)

Verilen eşitlikten ($a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_n$)

$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=A+B\frac{a_n}{a_{n+1}}$ olur. Buradan (alt dizi limit teoremi de kullanarak her iki tarafın limiti alınıp)

$L=A+\frac BL$ yani $L^2-AL-B=0$ bulunur. ($B>0$ kabul edildiği için) Bu denklemin bir tek pozitif kökü vardır, dolayısıyla $L$, o pozitif köke eşit olmalıdır. Pozitif köküne $b_1$ diyelim.

Oran testinden, $\sum a_nx^{n-1}$ kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı $\frac1{b_1}>0$ olarak bulunur.

 (SORU: Bu çözümdeki hatayı bulunuz)

Comments

Limit var aslinda ama var oldugunu bilmiyoruz...

---

Elbette.

(Hemen yazmasaydın Sercan!)