Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
3.1k kez görüntülendi
$\sum\limits_{n=1}^\infty x^n$ serisi için yakınsaklık ve yakınsaklık aralığını nasıl yorumlayacağız.

 

yakınsaklık için

$\lim_{n\to\infty} |\dfrac{x^{n+1}}{x^n}| = \infty$

bu durumda seri ıraksak oluyor yakınsaklık aralığı için de

$\lim_{n\to\infty(\sqrt[n]{x^n})} = \infty$

bu durumda da sadece x=0 için yakınsak olacak

ama bu seriyi ıraksak olarak bulmuştuk
Lisans Matematik kategorisinde (54 puan) tarafından  | 3.1k kez görüntülendi
Kuvvet serilerine "yakınsak" veya "ıraksak" demek doğru değildir, çünki $x$ e göre değişir.

Senin bulduğun limitler ikis de doğru değil. O Limitler $x$ e göre değişir.
Geometrik seri fikri ile ispatı verilen oran testini geometrik seri için uyguladığını da belirteyim. Kitabında muhtemelen daha önceleri bu bilgiler verilmiştir.

Ayrıca $|x^{n+1}/x^n|=|x|$ olur.
limitleri $x$' e göre mi almış oldum ben o zaman ben
ben kendim aklıma ilk gelen örneği yazayım deyip onun üzerinden deneyim demiştim konuları da mı karıştırmışım
evet ya şimdi fark ettim

$$lim_{n\to\infty} |\dfrac{x^n+1}{x^n}|=|x|$$

 

bu ve diğeri bu şekilde çıktığında ne demem lazım formüller mi yanlış
Bu testler (ikisinin de standart adları var) limitin değerine göre bir şey şöylüyor.

Bu testlere tekrar bakarsan sorunun cevabını orada göreceksin.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty x^n$

$a_n=x^n$ diyelim. O halde $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \dfrac {x^{n+1}}{x_{n}}\right| =\lim _{n\rightarrow \infty }\left| x\right| =\left| x\right|$ bulunur.

Buna göer $\Rightarrow \left| x\right|  <1\Rightarrow$ seri ıraksak, $\left| x\right|  >1\Rightarrow$ seri ıraksak, $\left| x\right| =1\Rightarrow $ şüpheli hal var.

$x=1$ olsun $\Rightarrow$ $\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}x^{n}=\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}\left( 1\right) ^{n}=\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}1$ serisi ıraksaktr.

$x=-1$ olsun $\Rightarrow$ $\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}(-1)^n$ serisi ıraksaktır.(Genel teriminin limiti $0$ değil)

O halde yakınsaklık yarıçapı $R=1$, yakınsaklık aralığı $(-1,1)$ aralığıdır.
(467 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Teşekkür ederim ben $x$'i bu şekilde kullanmamız yada yorumlamamız gerektiğini fark edememiştim.
19,771 soru
21,456 cevap
72,116 yorum
425,362 kullanıcı