serilerde yakınsaklık ve yakınsaklık aralığı

Question

$\sum\limits_{n=1}^\infty x^n$ serisi için yakınsaklık ve yakınsaklık aralığını nasıl yorumlayacağız.

 

yakınsaklık için

$\lim_{n\to\infty} |\dfrac{x^{n+1}}{x^n}| = \infty$

bu durumda seri ıraksak oluyor yakınsaklık aralığı için de

$\lim_{n\to\infty(\sqrt[n]{x^n})} = \infty$

bu durumda da sadece x=0 için yakınsak olacak

ama bu seriyi ıraksak olarak bulmuştuk

Comments

Kuvvet serilerine "yakınsak" veya "ıraksak" demek doğru değildir, çünki $x$ e göre değişir.

Senin bulduğun limitler ikis de doğru değil. O Limitler $x$ e göre değişir.

---

Geometrik seri fikri ile ispatı verilen oran testini geometrik seri için uyguladığını da belirteyim. Kitabında muhtemelen daha önceleri bu bilgiler verilmiştir.

Ayrıca $|x^{n+1}/x^n|=|x|$ olur.

---

limitleri $x$' e göre mi almış oldum ben o zaman ben

---

ben kendim aklıma ilk gelen örneği yazayım deyip onun üzerinden deneyim demiştim konuları da mı karıştırmışım

---

evet ya şimdi fark ettim

$$lim_{n\to\infty} |\dfrac{x^n+1}{x^n}|=|x|$$

 

bu ve diğeri bu şekilde çıktığında ne demem lazım formüller mi yanlış

---

Bu testler (ikisinin de standart adları var) limitin değerine göre bir şey şöylüyor.

Bu testlere tekrar bakarsan sorunun cevabını orada göreceksin.

Answer 1

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty x^n$

$a_n=x^n$ diyelim. O halde $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \dfrac {x^{n+1}}{x_{n}}\right| =\lim _{n\rightarrow \infty }\left| x\right| =\left| x\right|$ bulunur.

Buna göer $\Rightarrow \left| x\right|  <1\Rightarrow$ seri ıraksak, $\left| x\right|  >1\Rightarrow$ seri ıraksak, $\left| x\right| =1\Rightarrow $ şüpheli hal var.

$x=1$ olsun $\Rightarrow$ $\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}x^{n}=\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}\left( 1\right) ^{n}=\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}1$ serisi ıraksaktr.

$x=-1$ olsun $\Rightarrow$ $\displaystyle\sum ^{\infty }_{n=1}(-1)^n$ serisi ıraksaktır.(Genel teriminin limiti $0$ değil)

O halde yakınsaklık yarıçapı $R=1$, yakınsaklık aralığı $(-1,1)$ aralığıdır.

Comments

Teşekkür ederim ben $x$'i bu şekilde kullanmamız yada yorumlamamız gerektiğini fark edememiştim.