Polinomlarin kokleri bir topoloji olusturur mu ?

Question

Kume olarak reel sayilari alsak, topolojimizdeki kapali kumeleri  ise reel/rasyonel/tamsayi girdili polinomlarin kokleri olarak versek, bu aile topoloji olusturur mu ?

Comments

Hayır!

Örneğin tam her gerçel $a$ sayısı için $x-a$ polinomunu alabiliriz. Bunlar tek elemanlı kümeler verir. Buna karşın (tam olarak) bunların birleşimleri ile oluşan $\mathbb R\setminus\{0\}$ kümesini sıfırlayan bir polinom yok.

---

Yalniz sonsuz tane kapali kume birlestirmedin mi bunu yaparken ? Kapali kumelerin sonlu birlesimleri topolojinin icinde olmak zorunda sanki, sonsuz birlesimleri ile ilgili bir sey diyemiyoruz ? (Tam olarak bunu engellemek icin acik kumeler yerine polinomlarin kokleri kapali kumeler olsun dedim )

Bir sey kaciriyor olabilirim anlatirsan sevinirim :)

---

Başlıktan bunları açık anladım.

---

Ya evet talihsiz bir baslik attim. Iste zamanla ogrenicem ifade etmeyi kendimi boyle boyle

---

ama galiba gene ayni problem var.

Kapali kumelerin sonlu birlesimleri gene kapali olmali topoloji icin. $U_i$ kumesi , $P_i$ polinomunun kokleri olsun.

O zaman

$$\bigcup_{i=1}^{n} U_i = \{ x \quad | \prod_{i=1}^{n} P_i (x) = 0\}$$

diyebiliriz. Sag taraf bir polinom oldugu icin bu da bir kapali kume.

Buradan sonra problemlerim basliyor

Kapali kumelerin kesisimleri gene kapali olmali topoloji icin. Soyle bir sey denemek istiyorum.

Su ifade dogru olmali

$$\bigcap_{i=1}^{n} U_i = \{ x \quad | \sum_{i=1}^{n} P_i (x) = 0\}$$

Sag taraf hala bir polinom oldugu icin bu da bir kapali kume olmali.

icimden bir ses sonsuz kesisimler bos kume olacak olacak bu da reel sayilarda koku olmayan bir polinomun koku oldugu icin kapali olacak diyor ama emin degilim. Bunu nasil gosteririm yada dogru mu ki bu ?

Topoloji olmanin son sarti ise bos kume ve uzayin tamaminin kapali oldugunun gosterilmesi.

Bos kumenin kapali oldugunu gosterdik (reel sayilarda koku olmayan bir polinom)

Tum uzayin kapali oldugunu gostermemiz gerekiyor bir de. Butun reel sayilarda koku olan bir polinom bulmak lazim galiba. Bunun icin $0$ pllinomunu alsak ?

---

$\bigcap_{i=1}^{n} U_i = \{ x \quad | \sum_{i=1}^{n} P_i (x) = 0\}$ doğru değil.

$U=\{x: x=0\}=\{0\},\ V=\{x: x-1=0\}=\{1\}$ olsun.

$U\cap V=\varnothing$ ama $\{x:x+x-1=0\}=\{\frac12\}$

$\bigcap_{i=1}^{n} U_i \subseteqq \{ x \quad | \sum_{i=1}^{n} P_i (x) = 0\}$ doğru.

Verilen cisimlerde, sağda, $\sum_{i=1}^{n} (P_i(x))^2$ kullanırsak eşit olurlar.

Başka cisimlerde sağda hangi polinom yazmak gerekir onu da sen bul.

---

hocam sanirim $\mathbb{C}$ icin $\sum_{i=1}^n |P_i(x)|^2$ yazabiliyoruz sag tarafa (gerci simdi sag taraf polinom olmadi ama) baska cisimler icin de bakiyorum suanda (sonlu cisimler geldi aklima zaten baska cisim bilmiyorum)

 

Sonsuz kesisim durumunu kestiremiyorum ama hala. Hele Cisimimizi $\mathbb{C}$ alinca reel sayilarda yapabildigim su seyi yapamiyorum

Bos kumenin kapali oldugunu gosterdik (reel sayilarda koku olmayan bir polinom)

Cunku her polinomun $\mathbb{C}$ de koku olacak

 

Duzeltme : sabit polinomun koku yok....

---

Aslında cevap çok basit:

İki durum var (cisme, $\mathbb{F}$ diyelim)

1. Her bir $U_i=\mathbb{F}$ 
2. En az bir $U_i\neq\mathbb{F}$

Her iki durum da çok kolay.

---

anladim galiba. Konuyla ilgili ne okumami onerirsiniz ? Biraz arastirma yaptim galiba biraz halkalar hakkinda bilgi sahibi olmam gerekiyor, ideal vb gibi kavramlar cikti ortaya.

---

Bahsettiğiniz topoloji Zariski topolojisi. Bir cebirsel geometriye giriş kitabında daha fazlasını bulabilirsiniz.

Tek değişkenli polinomlar için kapalı kümeler sadece sonlu olanlar ama daha fazla değişken olduğunda daha güzel örnekler bulunabiliyor.

---

tesekkuerler:)

---

Daha da genel olarak, (birim elemanlı, değişmeli) halkaların asal spektrumu üzerinde de benzer (ve önemli) bir topoloji var