$|G|>2$ ise $G$ grubunun birden fazla özyapı dönüşümü vardır.

Question

özyapı dönüşümü = otomorfizma = G'den kendisine giden birebir, örten, çarpmaya saygı duyan fonksiyon.

Answer 1

Eğer $G$ abelyen bir grup değilse $G$'nin merkezi $Z(G)$ içinde olmayan en az bir tane eleman olacaktır. Böyle bir $g$ elemanının tanımladığı $x\longmapsto gxg^{-1}$ özyapı dönüşümü birim dönüşümden farklıdır. Yani sav abelyen olmayan bütün gruplar için doğrudur.

O halde $G$ grubunun abelyen olduğunu var sayalım. Bu durumda $x\mapsto x^{-1}$ fonksiyonu $G$ abelyen olduğu için birebir ve örten bir homomorfizma tanımlar. Eğer $G$ grubunun elemanlarından en az bir tanesinin mertebesi $2$'den farklıysa bu fonksiyon birim fonksiyondan farklı bir fonksiyon olacaktır. Yani gösterilmesi gereken tek durum olarak $G$ grubunun abelyen ve bütün elemanlarının mertebesinin $2$ olduğu durum kaldı.

O halde $G$ grubunun abelyen olduğunu ve her elemanın mertesinin iki olduğunu varsayalım. $G$'nin eleman sayısı $2$'den fazla olduğu için $a\neq 1$, $b\neq 1$ ve $a\neq b$ şartlarını sağlayan $a$ ve $b$ elemanları vardır. Bu durumda $a$ ile $b$ elemanlarının yerlerini değiştiren ve diğer elemanları sabit tutan özyapı dönüşümü (bu neden bir özyapı dönüşümüdür?) birim fonksiyondan farklı olacaktır.

Comments

Son cümle yanlış ama ona benzer bir şey doğru!

---

Evet yanlis. Eger $xy=a$ esitligini ve $x\neq a,b$ ve $y\neq a,b$ sartlarini saglayan $x$ ve $y$ elemanlari varsa

\begin{equation}

f(xy)=f(a)=b

\end{equation}

ve

\begin{equation}

f(x)f(y)=xy=a

\end{equation} olur. Bu da ilk cevabin son durumunda tanimlanan fonksiyonun bir homomorfizma olmadigini gosterir.

---

Yoksa ne olacak?.. Daha kolayı: Eğer $x \neq 1, a, b, ab$ ise $ax \neq a, b$ olur ve dolayısıyla $ax = f(ax) = f(a)f(x) = bx$ ve $a=b$ olur. Çelişki.

Kanıtı tamamlamak için grubun iki elemanlı cisim üzerine en az 2 boyutlu bir vektör uzayı olduğunu kullanmak lazım. Bir tabanın iki elemanını değiştiren ama diğerlerini sabitleyen lineer transformasyon işi görür.