Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
125 kez görüntülendi
$n\in\mathbb{Z}^+$,$ x,\,y\in G$ commute with $[x,y]$; $(xy)^n=x^ny^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}$ olduğunu gösterin. ($[.]$ anlamı kamütatör)
Lisans Matematik kategorisinde (169 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 125 kez görüntülendi
Üzerinde oynadım ama işin içinden çıkamadım. Tümevarım denemeye çalıştım ama bir yere kadar gelebiliyorum.

$n=1$ için sağlıyor $n+1$ için gösteremedim
Her zaman doğru olmama olasılığı var mı? Mesela yüzüp yüzüp kuyruğuna geldiğin yerdeki engel nedir?
Sanirim bu her zaman dogru degil. Soyle bir karsi ornek buldum (gercekten karsi ornek mi emin degilim)

$x = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix}$

$y = \begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}$

$xy = \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}$

$[y,x] = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}$

$(xy)^4 = \begin{pmatrix}
34 & 21\\
21 & 13
\end{pmatrix}$

$(y^4)^T = x^4 = \begin{pmatrix}
1 & 4\\
0 & 1
\end{pmatrix}$

$[y,x]^6 = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$

hepsini birlestirince bir karsi ornek oluyor sanirim.

komutator $XY-YX$ olarak seyettim
@eloi Grup teoride komutator $[x,y] = x^{-1}y^{-1}xy$ olarak şey ediliyor hatırladığım kadarıyla.

@sametoytun ben olsam $n =2,3$ durumlarına bakıp soruyu daha iyi anlamaya çalışırım, soruyu çözmeye çalışmaktan önce.

$n = 2$ için:

$$xyxy = x^2 y^2 x^{-1}y^{-1}xy  \iff xyx = x^2y^2 x^{-1}y^{-1} x  $$

oluyor mesela. Burada yapılanı birkaç adım ilerletirsen istenilen ifadeye ulaşıyorsun. Bunu $n=2$ için tamamlayıp $n=3$ için yapmayı dene?
Bu arada işe yaramayabilir $n=3$ için, denemedim, ama en azından soruyla biraz daha haşır neşir olmuş olursun.
@ozgur komutator gorunce hemen matristir gibi atladim. halkalardaki komutator tanimi neden gruptakine benzemiyor acaba ?

Sorduğum soru doğru ama eksikmiş düzenlerim birazdan.

Burada sorulmuş

 Bu kısma kadar yazılan her şeyi anladım ama burada $k$'li kısmı nasıl yazdı ?

Verdiğin sav doğru değildi. Yoksa her "p ise q" için "(p veya q) ise q" düzeltmesi yapabiliriz.
Tümevarımla da yapabilirsin. $x$ ile $y^n$ yer değiştirmeli. Bunun için de n kere komutator uygulanmalı. Bu kısım için de yine bir tüme varım yapılabilir.
19,117 soru
21,037 cevap
69,887 yorum
23,373 kullanıcı