Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
608 kez görüntülendi
$X\neq\emptyset $ küme ve $\preceq\subseteq X^2$ olmak üzere eğer $(X,\preceq)$ preordered set $($yani $\preceq$ bağıntısı yansıyan ve geçişken$)$ ise $$\tau:=\{A\subseteq X|(x\in A)(y\in X)(x\preceq y)\Rightarrow y\in A\}$$ ailesinin bir topoloji olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 608 kez görüntülendi
Hocam sanirim $X$ in sonlu olmasi gerekiyor.
@elloi neden sonlu olması gereksin ki? $X$ kümesinin sonsuz olması nasıl bir problem teşkil ediyor? Ben $X$ kümesinin sonsuz olmasında bir sakınca göremiyorum. Yoksa ben mi bir şeyleri kaçırıyorum?
ben karistirmisim sanirim.Galiba bu sekilde olusturalan topolojilerle, preorderlar arasinda denklik istiyorsan kume sonlu olmali
Hocam peki teoremin tersini de gosterebilir miyiz ?
Teoremin tersinden neyi kastediyorsun?
elimde bir topoloji $\tau$ olsun. $R = \{(x,y) \quad  : \forall_{a \in T} \quad  x \in a \implies y \in a \}$ iliskisi bir preorderdir

duzgun yazamamis olabilirim ama kastettigim burada bir preorderdan bir topoloji elde ettik,

  1. bir topolojiden de preorder elde edebilir miyiz? (spoiler evet)
  2. bir preorderi alip topoloji yapsak sonra o topolojiyi preordera cevirsek elimize ayni preorder gecer mi?
  3. bir topolojiyi alip preordera cevirip sonra o preorderi topolojiye cevirsek elimize ayni topoloji gecer mi?
  4. Yok gecmiyorsa, kumenin/topolojinin uzerine hangi sarti getirmeliyiz ki topoloji <-> preorder gecisi bir sey degistirmesin?

gibi sorularim var 

Güzel sorular. Buna epeyce bir kafa yormam gerekecek. Şu an için evet olur ya da hayır olmaz diyemeyeceğim.
Hımm tamam sorularını düşünürken orayı da inceleyeyim.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$\mathbf{T_1)}$  $\emptyset,X\overset{?}{\in}\tau$

$$\begin{array}{rcl}\emptyset\in\tau & \Leftrightarrow  & [\underset{0}{(\underbrace{x\in \emptyset})}\underset{0}{(\underbrace{y\in \emptyset})}\underset{p}{(\underbrace{x\preceq y})}\Rightarrow \underset{0}{\underbrace{y\in \emptyset}}] & \Leftrightarrow &  1\end{array}$$ yani $$[(x\in \emptyset)(y\in \emptyset)(x\preceq y)\Rightarrow y\in \emptyset]\equiv 1$$ yani $$[(x\in \emptyset)(y\in \emptyset)(x\preceq y)\Rightarrow y\in \emptyset]$$ önermesi bir totoloji yani $$\emptyset\in\tau.$$

$$\begin{array}{rcl} X\in\tau &  \Leftrightarrow &   [\underset{p}{(\underbrace{x\in X})}\underset{q}{(\underbrace{y\in X})}\underset{r}{(\underbrace{x\preceq y})}\Rightarrow \underset{q}{\underbrace{y\in X}}] & \Leftrightarrow & 1\end{array}$$ yani

$$[(x\in X)(y\in X)(x\preceq y)\Rightarrow y\in X]\equiv 1$$ yani $$[(x\in X)(y\in X)(x\preceq y)\Rightarrow y\in X]$$ önermesi bir totoloji yani $$X\in\tau.$$
 

$\mathbf{T_2)}$  $A,B\in\tau$ olsun. Amacımız $A\cap B\in \tau$ olduğunu göstermek. Bunun için de $x\in A\cap B$ ve $y\in X$ için $x\preceq y$ olduğunda $y\in A\cap B$ olduğunu göstermeliyiz.

$x\in A\cap B,$ $y\in X$ ve  $x\preceq y$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in A\cap B\Rightarrow (x\in A)(x\in B) \\ \\ (y\in X)(x\preceq y)\end{array}\right\}\overset{A,B\in\tau}{\Rightarrow} (y\in A)(y\in B)\Rightarrow y\in A\cap B$

olur. O halde $A\cap B\in \tau$ olur.

 

$\mathbf{T_3)}$  $\mathcal{A} \subseteq \tau$ olsun. Amacımız $\cup\mathcal{A}\in \tau$ olduğunu göstermek. Bunun için de $x\in\cup \mathcal{A}$ ve $y\in X$ için $x\preceq y$ olduğunda $y\in \cup\mathcal{A}$ olduğunu göstermeliyiz.

$x\in \cup \mathcal{A},$  $y\in X$  ve  $x\preceq y$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in \cup\mathcal{A}\Rightarrow (\exists A\in \mathcal{A})(x\in A) \\ \\ (y\in X)(x\preceq y)\end{array}\right\}\overset{\mathcal{A}\subseteq \tau}{\Rightarrow} y\in A\subseteq \cup\mathcal{A}\Rightarrow y\in \cup\mathcal{A}$

olur. O halde $\cup\mathcal{A}\in \tau$ olur.
(11.4k puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi
20,217 soru
21,750 cevap
73,348 yorum
1,974,915 kullanıcı