Question

$X\neq\emptyset $ küme ve $\preceq\subseteq X^2$ olmak üzere eğer $(X,\preceq)$ preordered set $($yani $\preceq$ bağıntısı yansıyan ve geçişken$)$ ise $$\tau:=\{A\subseteq X|(x\in A)(y\in X)(x\preceq y)\Rightarrow y\in A\}$$ ailesinin bir topoloji olduğunu gösteriniz.

Comments

Hocam sanirim $X$ in sonlu olmasi gerekiyor.

---

@elloi neden sonlu olması gereksin ki? $X$ kümesinin sonsuz olması nasıl bir problem teşkil ediyor? Ben $X$ kümesinin sonsuz olmasında bir sakınca göremiyorum. Yoksa ben mi bir şeyleri kaçırıyorum?

---

ben karistirmisim sanirim.Galiba bu sekilde olusturalan topolojilerle, preorderlar arasinda denklik istiyorsan kume sonlu olmali

---

Hocam peki teoremin tersini de gosterebilir miyiz ?

---

Teoremin tersinden neyi kastediyorsun?

---

elimde bir topoloji $\tau$ olsun. $R = \{(x,y) \quad  : \forall_{a \in T} \quad  x \in a \implies y \in a \}$ iliskisi bir preorderdir

---

duzgun yazamamis olabilirim ama kastettigim burada bir preorderdan bir topoloji elde ettik,

1. bir topolojiden de preorder elde edebilir miyiz? (spoiler evet)
2. bir preorderi alip topoloji yapsak sonra o topolojiyi preordera cevirsek elimize ayni preorder gecer mi?
3. bir topolojiyi alip preordera cevirip sonra o preorderi topolojiye cevirsek elimize ayni topoloji gecer mi?
4. Yok gecmiyorsa, kumenin/topolojinin uzerine hangi sarti getirmeliyiz ki topoloji <-> preorder gecisi bir sey degistirmesin?

gibi sorularim var 

---

Güzel sorular. Buna epeyce bir kafa yormam gerekecek. Şu an için evet olur ya da hayır olmaz diyemeyeceğim.

---

Su soru alakali biraz ama cevabim tam degil

---

Hımm tamam sorularını düşünürken orayı da inceleyeyim.

Answer 1

$\mathbf{T_1)}$  $\emptyset,X\overset{?}{\in}\tau$

$$\begin{array}{rcl}\emptyset\in\tau & \Leftrightarrow  & [\underset{0}{(\underbrace{x\in \emptyset})}\underset{0}{(\underbrace{y\in \emptyset})}\underset{p}{(\underbrace{x\preceq y})}\Rightarrow \underset{0}{\underbrace{y\in \emptyset}}] & \Leftrightarrow &  1\end{array}$$ yani $$[(x\in \emptyset)(y\in \emptyset)(x\preceq y)\Rightarrow y\in \emptyset]\equiv 1$$ yani $$[(x\in \emptyset)(y\in \emptyset)(x\preceq y)\Rightarrow y\in \emptyset]$$ önermesi bir totoloji yani $$\emptyset\in\tau.$$

$$\begin{array}{rcl} X\in\tau &  \Leftrightarrow &   [\underset{p}{(\underbrace{x\in X})}\underset{q}{(\underbrace{y\in X})}\underset{r}{(\underbrace{x\preceq y})}\Rightarrow \underset{q}{\underbrace{y\in X}}] & \Leftrightarrow & 1\end{array}$$ yani

$$[(x\in X)(y\in X)(x\preceq y)\Rightarrow y\in X]\equiv 1$$ yani $$[(x\in X)(y\in X)(x\preceq y)\Rightarrow y\in X]$$ önermesi bir totoloji yani $$X\in\tau.$$
 

$\mathbf{T_2)}$  $A,B\in\tau$ olsun. Amacımız $A\cap B\in \tau$ olduğunu göstermek. Bunun için de $x\in A\cap B$ ve $y\in X$ için $x\preceq y$ olduğunda $y\in A\cap B$ olduğunu göstermeliyiz.

$x\in A\cap B,$ $y\in X$ ve  $x\preceq y$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in A\cap B\Rightarrow (x\in A)(x\in B) \\ \\ (y\in X)(x\preceq y)\end{array}\right\}\overset{A,B\in\tau}{\Rightarrow} (y\in A)(y\in B)\Rightarrow y\in A\cap B$

olur. O halde $A\cap B\in \tau$ olur.

 

$\mathbf{T_3)}$  $\mathcal{A} \subseteq \tau$ olsun. Amacımız $\cup\mathcal{A}\in \tau$ olduğunu göstermek. Bunun için de $x\in\cup \mathcal{A}$ ve $y\in X$ için $x\preceq y$ olduğunda $y\in \cup\mathcal{A}$ olduğunu göstermeliyiz.

$x\in \cup \mathcal{A},$  $y\in X$  ve  $x\preceq y$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in \cup\mathcal{A}\Rightarrow (\exists A\in \mathcal{A})(x\in A) \\ \\ (y\in X)(x\preceq y)\end{array}\right\}\overset{\mathcal{A}\subseteq \tau}{\Rightarrow} y\in A\subseteq \cup\mathcal{A}\Rightarrow y\in \cup\mathcal{A}$

olur. O halde $\cup\mathcal{A}\in \tau$ olur.