$\dfrac{n^a}{b^n}$ Cinsindeki limitlerin çözülmesi. (Sıkıştırma Teoremi)

Question

İlk önce her yerde geçtiği haliyle Sıkıştırma Teoremini "diziler" için kanıtlayalım -fonksiyonlar kısmıyla henüz işimiz yok ama bir delta bulunarak o da kanıtlanabilir- şimdi kanıta geçelim.

 Sıkıştırma Teoremi: Eğer $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ dizileri $\forall n >n_{0}$ için $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}=L$ sağlanıyorsa, o zaman kaçınılmaz olarak, $\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=L$ Olur.

Kanıtı ise:

Şimdi her ikisi için epsilon tanımlarını yazalım. $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=L\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0, \exists N_{1}(\varepsilon)$, $\forall n>N_{1} : |a_{n}-L|<\varepsilon$ ve aynı şekilde,

$\lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}=L\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0, \exists N_{2}(\varepsilon)$, $\forall n>N_{2} : |c_{n}-L|<\varepsilon$. Olur. 

O halde $N$'yi seçelim, $N=max{[n_{0}, N_{1}, N_{2}}]$ olsun. O halde $\forall n>N$ için $L-\varepsilon<a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}<L+\varepsilon$ Çok açık bir şekilde de görüleceği üzere, $L-\varepsilon<b_{n}<L+\varepsilon$'dir. Ve buradan da $|b_{n}-L|< \varepsilon$ olur bu da istediğimiz sonucu verir yani: $\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=L$.

Sayın okuyucu, $...\geq4^n\geq3^n\geq2^n\geq1$ olduğunu kolayca görebilir. Şimdi buradaki kilit nokta $2^n$yi $2^n=(1+1)^n$ olarak görebilmekte. Bu sayede varacağımız sonuç şudur -binom açılımı ile-$(1)$

$2^n=\begin{pmatrix}n \\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n \\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n \\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n \\3\end{pmatrix}+...$. Peki bunu nasıl kullanabiliriz? Öncelikle kolay bir örnek vermeme izin verin:

Örnek(1):

$a_{n}=\dfrac{n^2}{2^n}$ dizisinin limiti nedir?(Okuyucu çözüme geçmeden kendisi yukarıda bahsettiğim şekilde soruyu çözebilir.)

Çözüm:

Yukarıdan bu diziyi sıkıştırabileceğimiz bir terim seçelim bu terim $\begin{pmatrix}n \\3\end{pmatrix}$ olmalı -birazdan sebebi görülecek- ve açıkça: $2^n\geq \begin{pmatrix}n \\3\end{pmatrix}$ doğrudur. Çünkü toplamın içinden seçilen herhangi bir eleman "bir zaman sonra" $2^n$den küçük olacaktır. Şimdi eğer bu eşitsizliği açarsak: $2^n\geq \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$ elde edilir. Şimdi bunun en başlarda bahsettiğim eşitsizlikle de mutlaka ilişkili olması gerektiğini görebiliriz$(1)$.

Eğer eşitsizliği ters çevirirsek:  $\dfrac{1}{2^n}\leq \dfrac{6}{n(n-1)(n-2)}$ olur. O halde her tarafa $n^2$ eklemek bizi suçlu durumuna düşürmeyecektir. $\dfrac{n^2}{2^n}\leq \dfrac{6n^2}{n(n-1)(n-2)}$, herhalde görülüyordur ki eşitsizliğin birinci kısmı 0'dan büyük, o halde:

 $0\leq \dfrac{n^2}{2^n}\leq \dfrac{6n^2}{n(n-1)(n-2)}$ olur. Şu haliyle görüldüğü şekilde ortadaki terim bizim $a_{n}$ dizimizin aynısı! Her tarafın limitini aldığımızda, en sağ ve en solun 0 olacağını ve "Sıkıştırma Teoreminden" $a_{n}$ dizisinin limitinin de 0 olması gerektiğini görürüz. Şimdi daha cüretli davranalım:

Örnek(2):

$a_{n}=\dfrac{n^2}{3^n}$ dizisinin limiti nedir?

Şimdi bildiğimiz üzere: $3^n\geq 2^n$ idi. Yani basitçe aynı eşitlsizliği yazabiliriz.  Ondan önce de şu basit eşitsizliği yazacağız:

$\dfrac{1}{3^n}\leq \dfrac{1}{2^n}$ ve tabii; $0\leq \dfrac{n^2}{3^n}\leq \dfrac{n^2}{2^n}$

$0\leq \dfrac{n^2}{3^n}\leq \dfrac{n^2}{2^n}\leq \dfrac{6n^2}{n(n-1)(n-2)}$ Haliyle limitin 0 olmaktan başka çaresi yoktur.

 

Comments

Tabii ki eğer dizi $a_{n}=\dfrac{n^2}{n!}$ gibi bir diziyse, bu halde ne yapabiliriz? İpucu: $n!>?$

$\dfrac{a^n}{n!}$ gibi bir diziyse ->Tıklayınız

---

Eline sağlık.

---

Ne demek hocam, her zaman.

---

L'Hospital da ise yarar aslinda..

---

Elbette hocam ama L'Hospital'siz bir çözüme ulaşmak istemiştim.