Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
3.1k kez görüntülendi
$x\in [0,1]$ bir reel sayı, $p$ de herhangi bir tamsayı olsun. $$x =\sum \frac{a_n}{p^n}\qquad 0\leq a_n<p$$ şartını sağlayan bir $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dizisinin varolduğunu ispatlayın. Bu dizi tek midir?
Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 3.1k kez görüntülendi

Burada şart başlıkta yazıldığı gibi yakınsaklık mı, yoksa nedir?

seri de yakinsak mi olcak, tam anlayamadim..

Sanıyorum " = " unutulmuştu. Ben ekledim.

Bir de $a_n$ tamsayı olmalı herhalde.

$a_n=\frac{1}{n} $ ve $p=2$ almak yeterli

Anlaşılmıştır.

Doğan hocam sağolun.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

1) Tum $n>0$ icin $a_n=0$ ise $x=0$'dir. Tum $n>0$ icin $a_n=p-1$ ise $x=1$'dir. (Sadece geometrik toplam.) Bunlar da maksimun ve minimum degerleri verir.

2) $a,b \in \mathbb Z_{>0}$ icin $\frac ab$'yi inceleyelim. ( ayrica $a \leq b$). Hatta $p$'nin kuvvetlerini disari atalim, bu sadece oteleme yapar. Kisacasi $(b,p)=1$ olsun ($\frac 12=\frac 5{10}$ sekline cevirebilecegimizden, bolenleri de yok edebiliriz.)

Kisacasi $(a,p)=1$ olacak sekilde $\frac 1a$ icin boyle bir seri var mi? Bu da ilkogretimde ogrendigimiz $\frac 13=\frac 3{10-1}=0.3333\cdots$ ipucusunu dusunerek ispatlanabilir.

3) Bu aralitaki rasyonel sayilar yogun oldugundan hepsini yazabiliriz. (Tabi ek olarak $\mathbb Q_p$ cauchy, $p$ asal icin. Ispat kisa, ayni ispat asal olmayan icin de yapilabilir.).

4) iki tane esitleyince $a_n-b_n=0$ gelecek. ($\mathbb Q_p$'yi dusunursek de yapabiliriz.)

(25.4k puan) tarafından 
20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
1,998,904 kullanıcı