Topoloji oluşturur mu?

Question

$X$ herhangi bir küme  ve  $Y\subseteq X$  olmak üzere 

                         $\tau =  2^Y \cup \{X\}$

ailesi, $X$ kümesi üzerinde bir topoloji oluşturur mu? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Comments

Daha genel olarak: $\tau_1,\ Y$ üzerinde bir topoloji ise, $\tau=\tau_1\cup\{X\},\ X$ üzerinde bir topoloji olur mu?

Answer 1

$X$ herhangi bir küme $Y \subseteq X$  ve  $\tau :=  2^Y \cup \{X\}$ olsun.
 
$T_1)$ $\emptyset,X\overset{?}{\in} \tau$

$X \in \tau$  (tanımda verilmiş)

$\left.\begin{array}{rr}\emptyset \subseteq  Y \Rightarrow \emptyset \in  2^Y\Rightarrow \emptyset\in2^Y\cup\{X\} \\ \\ \tau := 2^Y\cup \{X\}\end{array}\right\}\Rightarrow$  $\emptyset\in \tau$

$T_2)$ $A,B\in\tau$ olsun. (Amacımız $A \cap B \in \tau$ olduğunu göstermek.)

1. Durum: $A , B \in  2^Y  \Rightarrow ( A \subseteq Y )( B \subseteq Y ) \Rightarrow A \cap B \subseteq Y$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow A \cap B \in  2^Y\Rightarrow A \cap B\in2^Y\cup\{X\} \\ \\ \tau:= 2^Y\cup \{X\}\end{array}\right\}\Rightarrow$ $A\cap B \in \tau.$

2. Durum: $A , B \in \{ X \} \Rightarrow A \cap B = X \cap X = X \in \tau.$

3. Durum: $A \in 2^Y\text{ ve } B  \in \{ X\}  \text{ olsun . }$

$\left.\begin{array}{rr} A \in2^Y\Rightarrow A\subseteq Y \\ \\ B\in \{ X \} \Rightarrow B = X \end{array}\right\}\Rightarrow$ $A \cap B \subseteq Y \cap X \overset{(Y \subseteq X)}{=} Y$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow A \cap B \in 2^Y\Rightarrow A \cap B\in2^Y\cup\{X\} \\ \\ \tau:= 2^Y\cup \{X\}\end{array}\right\}\Rightarrow A \cap B \in \tau.$

$T_3)$ $\mathcal{A} \subseteq \tau$ olsun. (Amacımız  $\bigcup \mathcal{A} \in \tau$  olduğunu göstermek.)

 1. Durum: $X \in \mathcal{A}$ olsun.

$(X \in \mathcal{A})(\mathcal{A}\subseteq \tau) \Rightarrow \bigcup \mathcal{A} = X \in \tau .$

2. Durum: $X\notin \mathcal{A}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} (X\notin \mathcal{A})(\mathcal{A} \subseteq \tau) \Rightarrow \mathcal{A} \subseteq 2^Y \Rightarrow \bigcup \mathcal{A} \in 2^Y \Rightarrow  \bigcup \mathcal{A} \in 2^Y \cup \{ X \} \\ \\ \tau := 2^Y \cup \{ X \}  \end{array}\right\} \Rightarrow\bigcup \mathcal{A} \in \tau.$

$T_1, T_2 ,T_3$ koşulları sağlandığı için bir $\tau$ ailesi, $X$'de bir topolojidir.

Comments

Daha genel olarak: $\tau_1,\ Y$ üzerinde bir topoloji ise, $\tau=\tau_1\cup\{X\},\ X$ üzerinde bir topoloji olur mu?