Ercumentsoykan $Q(x)$ in derecesinin 2 olması gerektiğini bulmuş.
Kaldığı yerden devam edelim.
$a_1,a_2,\ldots,a_k$ sayıları $P(x)$ in FARKLI kökleri olsun ($1\leq k\leq n$).
Tüm kökleri gerçel olduğu için (bir $c\neq0$ gerçel sayısı ve bazı $m_i\geq1$ tamsayıları için) ,
$P(x)=c(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\cdots(x-a_k)^{m_k}$ şeklinde olur.
$(P(x))^2=c^2(x-a_1)^{2m_1}(x-a_2)^{2m_2}\cdots(x-a_k)^{2m_k}$ olup onun da tüm kökleri gerçeldir ve $k$ tane farklı kökü vardır. (Ve kökler $a_1,a_2,\ldots,a_k$ sayılarıdır, ama bunu kullanmayacağız)
$(P(x))^2=P(Q(x))=c(Q(x)-a_1)^{m_1}(Q(x)-a_2)^{m_2}\cdots(Q(x)-a_k)^{m_k}$ şeklinde olur.
Bu polinomun da tüm kökleri gerçel olduğu için, her bir $Q(x)-a_i$ çarpanının da kökleri gerçeldir (diskriminatı: $\Delta\geq0$).
(Bu, her bir $a_i$ sayısının, $Q$ nun görüntüsünde olmasına eşdeğerdir)
$Q(x)-a_i$ polinomlarının en çok bir tanesi için $\Delta=0$ olabilir.
Diğer çarpanların ($\Delta>0$ olanlar için) 2 FARKLI gerçel kök var olacaktır.
Ama, $i\neq j$ için, (Burayı kısalttım)
$Q(x)-a_j=Q(x)-a_i+(a_i-a_j)$ ve $a_i-a_j\neq0$ olduğu için,
$Q(x)-a_i$ ve $Q(x)-a_j$ polinomlarının ortak kökleri OLAMAZ.
Buradan şu sonuca varırız:
Eğer $Q(x)-a_i$ çarpanlarından birisi için $\Delta=0$ ise, $P(Q(x))$ in $2(k-1)+1=2k-1$ FARKLI gerçel kökü vardır.
Eğer $Q(x)-a_i$ çarpanlarından hepsi için $\Delta>0$ ise, $P(Q(x))$ in $2k$ FARKLI gerçel kökü vardır.
$(P(x))^2$ nin $k$ tane farklı kökü olduğu için,
Her iki tarafın farklı gerçel kök sayısı aynı olması, sadece $k=1$ (ve $Q(x)-a_1$ için $\Delta=0$) iken olacaktır.
Böyle bir durum örneği bulmak da zor değil:
Her $n\geq1$ için $P(x)=x^n$ nin tüm kökleri gerçel olup, farklı köklerin sayısı 1 dir.
$Q(x)=x^2$ için eşitlik sağlanır.