Polinom sorusu (TUBİTAK 2019 takım seçme sınavı sorusu olabilir)

Question

Sabit olmayan gerçel katsayılı bir $P(x)$ polinomunun tüm kökleri gerçel sayıdır.
$(P(x))^2=P(Q(x))$ eşitliğini her $x$ gerçel sayısı için sağlayan
gerçel katsayılı bir $Q(x)$ polinomu bulunuyorsa
$P(x)$ polinomunun en fazla kaç farklı kökü vardır?
$A)0$  $B)1$   $C)2$   $D)3$   $E)4$

Comments

Soruyu çözebilmek için neler denediğinizi paylaşır mısınız?

---

ekteki gibi düşündüm ama emin olamadım

---

Soru güzel, ama eki göremiyoruz.

---

resim olarak göremiyor musunuz?

---

denememi paylaştım

---

O zaman göremedim. Şimdi görünüyor.

EK: başlangıç güzel, $Q(x)$ 2. derece olmalı. (Düzeltme: $Qx)$ i düzelttim)
Yalnız bu çözümde şu sorun var:

$Q(x_i)=x_i\quad (i=1,2,\ldots,n)$ olmak zorunda değil.

örneğin $Q(x_1)=x_2,\ Q(x_2)=x_1$ olamaz mı?

Bir de hem $Q(x_i)=x_i\quad (i=1,2,\ldots,n)$ ise en sondaki $Q(x_1)=Q(x_k),\ x_1\neq x_k$  nasıl olabilir?

---

haklısınız değerli hocam

çözümünü merak ediyorum

---

Öncelikle değerli Doğan Dönmez hocamıza öğretici çözümü için çok teşekkür ediyorum. Bence not edilmesi gereken bir çözüm ve öyle yapacağım. Soru ile ilgili bazı bilgilendirmeler paylaşayım:

 

2019 Tübitak Takım Seçme Sınavı Soru 5: Gerçel katsayılı ve sabit olmayan bir $P(x)$ polinomunun tüm kökleri gerçel sayılardır.
$$(P(x))^2=P(Q(x))$$
eşitliğinin her $x$ gerçel sayısı için sağlayan gerçel katsayılı bir $Q(x)$ polinomu bulunuyorsa, $P(x)$ polinomunun tüm köklerinin aynı olduğunu gösteriniz.

 

Çözümü ile ilgili olarak 1-2 saat kadar düşünüp fazla ilerleyemeyince AoPS sitesini araştırmıştım: burada bir çözüm sunulmuş. Ben bir yerinde takılınca gerisini çok detaylı incelemedim, isteyenler bakabilir. Ayrıca sorunun benzeri daha önce 2017 yılında İran 3. Aşama Sorusu olarak sorulmuş. Oturaklı bir soru olduğu belli.

 

Ercüment Soykan bey'e de soru 'çoktan seçmeli bir test sorusu' olarak kaynakça belirtilmeden iletilmiş. Ben de kendisiyle beraber kaynakçayı ilk kez Burada öğrendim. Bazı eleştiri ve değerlendirmelerimi paylaşacağım. (Eleştirimin Ercüment bey'e olmadığı açıktır. Hocamız da iyi niyetli biçimde kendine iletilen sorunun çözümünü merak edip araştırıyor zaten.)

 

Daha önce de olimpiyat 1. aşama deneme sınavı adı altında deneme çözerken IMO (Uluslararası Matematik Olimpiyatı) sorusu, USAMO (ABD Matematik Olimpiyatı) sorusu, IMO Shortlist sorusu ...vb sorulara rastlamıştım. (Öğrencime çözdürmeden önce mümkünse kendim de denemeyi baştan sona çözeyim.) Öğretmen olarak o sorular için doğru şıkkı, sorunun cevabı hafızamda kaldıysa işaretleyebilirim. Yoksa o soruyu adam akıllı çözene kadar deneme sınavı biter. Bunlar, kötü hazırlanmış, başarısız deneme sınavları olarak aklımda kaldı. Yukarıda, matematik olimpiyatlarında Türkiye'yi temsil edecek Milli Takım öğrencilerini seçen sınavın sorusu çoktan seçmeli soruya dönüştürülmüş. Bunların her biri ortalama 1-1,5 saat süre tanınarak çok nadide öğrencilere yöneltilen sorulardır. Kısa çözümlü ve daha basitçe olan 2. aşama (klasik çözüm istenen) türdeki soruları 1. aşama test sorusuna dönüştürüp öğrenciye sormayı anlayabiliyorum. 5-6 dk içinde çözüm düşünülüp işlemi yapılarak çözülebilirse sıkıntı yoktur. Fakat basbayağı uzun çözümlü, ciddi deneyim isteyen sorular için ''a-b-c-d-e şıklarından hangisi doğrudur'' diye sormayı anlamıyorum. Bu türlü bir soruyu test sorusu gibi hazırlayana ''Buyur lütfen 5-6 dakika içinde sen çöz'' demek istiyorum :) Peki öğrenciden ne yapması bekleniyor acaba? Bu da ayrı bir soru. Kişisel tercihim öğrenciye/öğretmene kaynağı belli bir soru soruluyorsa o da sorunun yanında verilmelidir. Ben de kaynakçayı vermeye özen gösteriyorum. Rusya 1991, AIME 2007, Balkan 1998, IMO 2019 ... gibi. Kaynaça belirtmek bilim dünyasında çok önemli bir prensiptir. Ayrıca benim sunduğum çözümden daha farklı yaklaşımlar var mı diye araştırılıp öğrenilebilir. Kaynakça belirtmenin önemi ile ilgili ayrı bir başlık açılıp akademisyen hocalarımız bunun gerekliliğini örneklerle bizlere anlatırsa güzel olur. İsterseniz ben başlık açayım: Kaynakça belirtmek gerekli midir? Neden? gibi ... Böyle soru mu olur, herhalde gereklidir, demeyin. Görünüşe göre bilen var, bilmeyen var.

 

Herkese iyi çalışmalar diliyorum.

Answer 1

Ercumentsoykan $Q(x)$ in derecesinin 2 olması gerektiğini bulmuş.

Kaldığı yerden devam edelim.

$a_1,a_2,\ldots,a_k$ sayıları  $P(x)$ in FARKLI kökleri olsun ($1\leq k\leq n$).

Tüm kökleri gerçel olduğu için (bir $c\neq0$ gerçel sayısı ve bazı $m_i\geq1$ tamsayıları için) ,

$P(x)=c(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\cdots(x-a_k)^{m_k}$ şeklinde olur. 

$(P(x))^2=c^2(x-a_1)^{2m_1}(x-a_2)^{2m_2}\cdots(x-a_k)^{2m_k}$ olup onun da tüm kökleri gerçeldir ve $k$ tane farklı kökü vardır. (Ve kökler $a_1,a_2,\ldots,a_k$ sayılarıdır, ama bunu kullanmayacağız)

$(P(x))^2=P(Q(x))=c(Q(x)-a_1)^{m_1}(Q(x)-a_2)^{m_2}\cdots(Q(x)-a_k)^{m_k}$ şeklinde olur.

Bu polinomun da tüm kökleri gerçel  olduğu için, her bir $Q(x)-a_i$ çarpanının da kökleri gerçeldir (diskriminatı: $\Delta\geq0$).

(Bu, her bir $a_i$ sayısının, $Q$ nun görüntüsünde olmasına eşdeğerdir)

$Q(x)-a_i$ polinomlarının en çok bir tanesi için $\Delta=0$  olabilir. 

Diğer çarpanların ($\Delta>0$ olanlar için) 2 FARKLI gerçel kök var olacaktır.

Ama, $i\neq j$ için, (Burayı  kısalttım)

$Q(x)-a_j=Q(x)-a_i+(a_i-a_j)$ ve $a_i-a_j\neq0$ olduğu için, 

$Q(x)-a_i$ ve $Q(x)-a_j$ polinomlarının ortak kökleri  OLAMAZ.

Buradan şu sonuca varırız:

Eğer $Q(x)-a_i$ çarpanlarından birisi için $\Delta=0$ ise, $P(Q(x))$ in $2(k-1)+1=2k-1$ FARKLI gerçel kökü vardır.

Eğer $Q(x)-a_i$ çarpanlarından hepsi için $\Delta>0$ ise, $P(Q(x))$ in $2k$ FARKLI gerçel kökü vardır.

$(P(x))^2$ nin $k$ tane farklı kökü olduğu için,

Her iki tarafın farklı gerçel kök sayısı aynı olması, sadece $k=1$ (ve $Q(x)-a_1$ için $\Delta=0$) iken  olacaktır.

Böyle bir durum örneği bulmak da zor değil:

Her $n\geq1$ için $P(x)=x^n$ nin tüm kökleri gerçel olup, farklı köklerin sayısı 1 dir.

$Q(x)=x^2$ için eşitlik sağlanır.

Comments

Soru Olimpiyat sorusu olarak belrtildiği için Orta Öğretim düzeyi bir çözüm yazmak istedim.

Lisans düzeyi bilgiler (polinom halkaları ile ilgili bazı kavram ve teoremler) kullanarak biraz daha kısaltılabiliyor.

---

çok teşekkür ederim değerli hocam