Ercumentsoykan Q(x) in derecesinin 2 olması gerektiğini bulmuş.
Kaldığı yerden devam edelim.
a1,a2,…,ak sayıları P(x) in FARKLI kökleri olsun (1≤k≤n).
Tüm kökleri gerçel olduğu için (bir c≠0 gerçel sayısı ve bazı mi≥1 tamsayıları için) ,
P(x)=c(x−a1)m1(x−a2)m2⋯(x−ak)mk şeklinde olur.
(P(x))2=c2(x−a1)2m1(x−a2)2m2⋯(x−ak)2mk olup onun da tüm kökleri gerçeldir ve k tane farklı kökü vardır. (Ve kökler a1,a2,…,ak sayılarıdır, ama bunu kullanmayacağız)
(P(x))2=P(Q(x))=c(Q(x)−a1)m1(Q(x)−a2)m2⋯(Q(x)−ak)mk şeklinde olur.
Bu polinomun da tüm kökleri gerçel olduğu için, her bir Q(x)−ai çarpanının da kökleri gerçeldir (diskriminatı: Δ≥0).
(Bu, her bir ai sayısının, Q nun görüntüsünde olmasına eşdeğerdir)
Q(x)−ai polinomlarının en çok bir tanesi için Δ=0 olabilir.
Diğer çarpanların (Δ>0 olanlar için) 2 FARKLI gerçel kök var olacaktır.
Ama, i≠j için, (Burayı kısalttım)
Q(x)−aj=Q(x)−ai+(ai−aj) ve ai−aj≠0 olduğu için,
Q(x)−ai ve Q(x)−aj polinomlarının ortak kökleri OLAMAZ.
Buradan şu sonuca varırız:
Eğer Q(x)−ai çarpanlarından birisi için Δ=0 ise, P(Q(x)) in 2(k−1)+1=2k−1 FARKLI gerçel kökü vardır.
Eğer Q(x)−ai çarpanlarından hepsi için Δ>0 ise, P(Q(x)) in 2k FARKLI gerçel kökü vardır.
(P(x))2 nin k tane farklı kökü olduğu için,
Her iki tarafın farklı gerçel kök sayısı aynı olması, sadece k=1 (ve Q(x)−a1 için Δ=0) iken olacaktır.
Böyle bir durum örneği bulmak da zor değil:
Her n≥1 için P(x)=xn nin tüm kökleri gerçel olup, farklı köklerin sayısı 1 dir.
Q(x)=x2 için eşitlik sağlanır.