Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
853 kez görüntülendi
Dersimizde , kompakt bir uzayın her kapalı alt kümesinin kompakt olduğunu gösterdik.Benim aklımada şöyle bir soru geldi Kompakt bir uzayın her açık alt kümesi kompakt olabilir mi ? Ama düşüncem şu ki aradığımız cevap hayır değildir olmalı çünkü eğer olsaydı gösterdiğimiz teorem 'kompakt bir uzayın her kapalı alt kümesinin kompakttır.' demek yerine 'Kompakt bir uzayın alt kümeleride kompakttır derdik.'

Ters örnek vermemiz gerek olduğunu düşünüyorum.
Lisans Matematik kategorisinde (303 puan) tarafından  | 853 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Özel durumlarda olabilir. Mesela sonlu topolojik uzaylar kompakttır ve sonlu topolojik uzayların açık her altkümesi de kompakttır. Ancak her kompakt topolojik uzayın her açık altkümesi kompakt olmak zorunda değildir. $\mathbb{R}$'nin $[0,1]$ altuzayını ele alalım. $[0,1]$ altuzayı kompakttır fakat bu uzayın $[=,1]$'den farklı her açık altkümesi kompakt değildir.
(11.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
hocam sizin verdiğiniz bilgiyi kullanarak ben $[1,2]$ altuzayını ele aldım ve bunun kompakt olduğunu biliyoruz.

$[ 1,\dfrac {3}{2})$ altkümesi, $[1,2]$ de açık kümedir. $\left( 0,\dfrac {3}{2}\right) \cap \left[ 1,2\right] =[ 1,\dfrac {3}{2}) $

$[ 1,\dfrac {3}{2})$ açıktır ama kompakt değildir.
Evet doğru. Ben de farklı bir şey söylemedim ki.
20,240 soru
21,759 cevap
73,406 yorum
2,076,529 kullanıcı