Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
533 kez görüntülendi
$a,b>0$ ve $n>0$ için $\sqrt[n]{|a-b|}\geq|\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}|$ olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 533 kez görüntülendi

türkçe klavyede AltGr ile -

teşekkür ederim

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

bu ilgili soru'yu kullanaraktan. (n=1 kismida da, ucgen esitsizligine ayni metod uygulanir) Hatta $a \geq b$ kabul etmekte de hic bir mahsur yok. O zaman ilgili sorudaki $a$ yerine $a-b$ ve $b$ yerine $b$ koyarsak ispat bitmis olur.


(25.4k puan) tarafından 

evet, böyle daha güzel bir çözüm olabilirmiş.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

çözdüm sanırım ama biraz zahmetli cevabı var. binom açılımını ve varsayımları kullanarak yaptım. muhtemelen daha kolay yolu vardır.

öncelikle n=1 iken sağlandığı açık. o yüzden n>=2 varsayımını yapabiliriz.

genellikten bir şey kaybetmeden, kolaylık olması açısından a>=b varsayımını yapabiliriz.
daha sonra iki tarafın n. kuvvetini alıyoruz. sağ tarafı binom ile açtığımızda ilk terim kesinlikle a iken n'nin teklik ve çiftlik durumuna göre en sondaki terim ya +b ya da -b oluyor.


şimdi de n'nin tek olduğunu varsayalım. sondaki terim -b olacak. karşılıklı a ve b'yi gönderebiliriz. artık göstermemiz gereken şey a ile b arasında kalan terimlerin 0'dan küçük olduğudur.
bunun için de ikinci terimle sondan ikinci terimi, üçüncü terimle sondan üçüncü terimi ve bu şekilde tüm terimleri karşılaştırabiliriz. çift sayıda terim olduğu için karşılaştırma yapılabilir ve karşılaştırma yaparken ortak paranteze alma işlemini yapacağız. bu şekilde ikili olarak terimleri paranteze aldığınızda, tüm terimler negatif çıkacaktır. bu da 0'dan küçük olduğunu gösterecek.


şimdi n'nin çift olduğunu varsayalım. sondaki teri +b olacaktır. yine götürme işlemini yaptıktan sonra 2b'nin arada kalan terimlerden küçük olduğunu göstermemiz gerekecek. bu sefer tek sayıda terimimiz var. bunda da -ortak çarpan parantezine aldığınızda daha rahat görürsünüz- tam ortadaki terim 2 kök ab oluyor. aynı zamanda kalan terimlerin toplamı da pozitif oluyor. a>=b varsayımını yaptığımız için 2 kök ab'nin 2b'den büyük olduğunu rahatlıkla kanıtlayabiliriz.

sonuç olarak iki durumda da eşitsizliğin sağlandığını gösterebiliriz.

cevabın çok açık olmadığının farkındayım ama söylediklerimi kağıda yazarak, ve biraz uğraşarak çözebileceğinizi düşünüyorum.

(152 puan) tarafından 
20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,061,373 kullanıcı