Yine tümevarım dışında bir yöntem kullanmak istedim. Bu sayede eşitsizliğin 'neden' sağlandığını görmek daha kolay oluyor, sezgi biraz daha öne çıkıyor.
Öncelikle n sayısının çift olduğunu varsayalım ve n! sayısını açalım;
n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1. Şimdi dışarıdan içeriye doğru bir baştan bir de sondan sayı alarak çarpma işlemi uygulayalım;
n×1,(n−1)×2,(n−2)×3,…. Bu çarpımların her biri n'den büyük veya n'ye eşit ve tam olarak n/2 adet çarpım var. O halde hepsini taraf tarafa çarparsak,
n!≥nn/2 eşitsizliğini elde ederiz. Şimdi n sayısı tek olsun. Bu durumda faktoriyel fonksiyonundaki ortanca terim n+12 olur;
n×(n−1)×(n−2)×⋯×n+12×⋯×3×2×1. Açık ki n+12≥√n. Diğer terimler için yukarıda yaptığımız işlemin aynısını uygularsak, elimizde tam olarak (n−1)/2 tane, n'den büyük veya n'ye eşit çarpım olur;
n×1,(n−1)×2,(n−2)×3,…. Son olarak tüm bu terimleri taraf tarafa çarpalım;
n!≥n(n−1)/2×√n=nn/2.