Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
402 kez görüntülendi
$n!\geq n^{\frac n2}$ olduğunu gösteriniz
Serbest kategorisinde (1.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 402 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Yine tümevarım dışında bir yöntem kullanmak istedim. Bu sayede eşitsizliğin 'neden' sağlandığını görmek daha kolay oluyor, sezgi biraz daha öne çıkıyor.

Öncelikle $n$ sayısının çift olduğunu varsayalım ve $n!$ sayısını açalım;
\begin{equation} n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times3\times2\times1.\end{equation} Şimdi dışarıdan içeriye doğru bir baştan bir de sondan sayı alarak çarpma işlemi uygulayalım;
\begin{equation} n\times1, (n-1)\times2,(n-2)\times3,\dots.\end{equation} Bu çarpımların her biri $n$'den büyük veya $n$'ye eşit ve tam olarak $n/2$ adet çarpım var. O halde hepsini taraf tarafa çarparsak,
\begin{equation} n!\geq n^{n/2}\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz. Şimdi $n$ sayısı tek olsun. Bu durumda faktoriyel fonksiyonundaki ortanca terim $\frac{n+1}{2}$ olur; 
\begin{equation} n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times\frac{n+1}{2}\times\dots\times3\times2\times1.\end{equation} Açık ki $\frac{n+1}{2}\geq\sqrt{n}$. Diğer terimler için yukarıda yaptığımız işlemin aynısını uygularsak, elimizde tam olarak $(n-1)/2$ tane, $n$'den büyük veya $n$'ye eşit çarpım olur;
\begin{equation} n\times1, (n-1)\times2,(n-2)\times3,\dots.\end{equation} Son olarak tüm bu terimleri taraf tarafa çarpalım;
\begin{equation} n!\geq n^{(n-1)/2}\times \sqrt{n}=n^{n/2} .\end{equation}
(1.1k puan) tarafından 

final sınavımızda çıkan sorunun bir kısmı buydu. neredeyse 45 dakikamı sadece bu parçasını çözmek için harcamıştım. tümevarım kullanmıştım ama bu çözüm de çok iyiymiş. teşekkürler :)

20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,061,382 kullanıcı