Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
350 kez görüntülendi
$a,b>0$ ve $n \geq2$ olmak üzere, $\sqrt[n]{a+b} <\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$ olduğunu gösteriniz
Lisans Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 350 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Tümevarım (induction) yöntemiyle sonuca ulaşmak mümkün gibi görünüyor ama bence başka bir yol izlemek istiyorum.

$x,y>0$ olmak üzere her $n\geq 2$ için, kolayca ispatlanabilecek

\begin{equation} x<y \iff x^n<y^n\end{equation}

önermesine göre, (bu önerme biraz daha genelleştirilebilir fakat şu haliyle işimize yarıyor)

\begin{equation} \sqrt[n]{a+b}<\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\end{equation}ifadesinin sağlanabilmesi için gerek ve yeter koşul

\begin{equation} (\sqrt[n]{a+b})^n=a+b<(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b})^n\end{equation} ifadesinin sağlanması ki bu zaten

\begin{equation} (\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b})^n=a+b+\text{birazcık pozitif terimler} \end{equation} eşitliğinde açık olarak görülüyor.

Sezgisel olarak neden böyle olduğunu anlamak da zor değil. Nitekim pozitif sayılar üzerindeki kuvvet alma işlemi, toplam üzerinde daha büyük sonuçlar veriyor. Kök alma işleminde de toplam üzerinde daha küçük sonuçlar vermesi gerekir.

(1.1k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,061,364 kullanıcı