Question

$f(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ fonksiyonunun $[0,\infty)$ da LİPSCHİTZ sürekli olup olmadığını araştıralım.

$$|f(x)-f(a)|=|x^2-a^2|=|(x-a).(x+a)|=|x-a|.|x+a|$$

olduğundan $0\leq |x+a|<K$ olarak seçilirse her $x,a\in [0,\infty)$ için

$$|f(x)-f(a)| \leq K.|x-a|$$

koşulu sağlanır yani

$$(\exists K>0)(\forall x\in [0,\infty))(\forall a\in [0,\infty))(|f(x)-f(a)| \leq K.|x-a|)$$

önermesi doğru olur. Dolayısıyla f fonksiyonu $[0,\infty)$ da LİPSCHİTZ sürekli olur.

Şimdi gelelim asıl sorumuza yapılan bu kanıtta bir hata var mıdır? Varsa hata nerededir? Neden kaynaklanmaktadır.

Answer 1

Hangi $K>0$ sayısını alırsan al öyle bir $x,a\in [0,\infty)$ vardır ki

$$|f(x)-f(a)|>K|x-a|$$ koşulu sağlanır. Yani senin kanıttaki(!) $K$ sayısının seçimi hatalı. 
 

Öte yandan bu linkte yer alan teorem gereğince de bu fonksiyonun $[0,\infty)$ üzerinde Lipschitz sürekli olmadığı kolayca görülür.

Comments

Aynen dediğiniz gibi hocam.

Answer 2

Bende Murad hocamın verdiği linkteki karakterizasyonu gözönüne alarak bir cevap ekleyeyim:

$[0,\infty)$ bir aralık ve $f$ fonksiyonu $[0,\infty)$ da türevlenebilir olduğundan verilen karakterizasyondan yararlanabiliriz.

$f$ fonksiyonunun $[0,\infty)$ da Lipschitz sürekli olduğunu varsayalım. O halde

$$(\exists K>0)(\forall a\in[0,\infty))(|f'(a)|\leq K)$$

önermesi doğru olur. Bu önerme her $a\in[0,\infty)$ için doğru olduğundan özel olarak

$$a:= \dfrac {K+1} 2$$

içinde doğru olur. Buradan da

$$|f'(a)|=|2a|=2a=2\left(\dfrac {K+1} 2\right)=K+1\leq K$$

çelişkisini elde ederiz. O halde varsayımımız yanlıştır. Yani f fonksiyonu $[0,\infty)$ da Lipschitz sürekli değildir.