$(X, d)$ metrik uzay ve $A\subset X$ olsun. $A$ kompakt ise $A$ dizisel kompakttır.

Question

Kanıtım şöyle ama şüpheliyim

$a_n \rightarrow a$ $A$ da bir dizi olsun ama $a \notin A$  kabul edelim. her $\varepsilon$ için $B(a,\varepsilon)$ $a_n$ dizisinin bazı terimleri yuvarın içerisinde kalmalı.

Diğer yandan $A$ metrik uzaydaki bir kompakt küme olduğundan kapalı olmalı ($X$ Hausdorrf) . yani $X-A$ açık olmalı. $a  \in X-A$ olduğundan bir $\varepsilon$ için $B(a,\varepsilon)  \subset X-A$  yani bu $\varepsilon$ için $B(a,\varepsilon_x) \cap A = \emptyset$

ama dizimizin bazı terimleri her daim her epsilon yarıçaplı a merkezli açık yuvarda kalmalıydı yani $\varepsilon_x = \varepsilon$ aldığımızda varsayımımızla çelişiyoruz.

Comments

Dizisel kompaktlık tanımı böyle değil

---

$a_n$'i $A$'daki bir dizinin alt dizisi olarak düşünsek tanıma uygun olmaz mı

---

Dizisel kompaktlık tanımı ne?

---

$X$ metrik bir uzay$A$ da $X$'in alt uzayı olsun. Eğer $A$ içinde herhangi bir dizinin $A$ içinde bir noktaya yakınsayan bir altdizisi varsa $A$'ya kendi içinde dizisel kompakttır denir.

---

Bir tane de dizisel kompakt olmayan uzay örneği verip neden dizisel kompakt olmadığını açıklayabilir misin?

---

$(0,1]$ araligi $\frac{1}{n}$ dizisi $0 \notin (0,1]$ a yakinsadigindan dizisel kompakt degil.

---

Senin ispatını üstünden gidilmesi kolay olan bir hale getireceğim, üzerinden beraber düşünelim. Senin de benimkine benzer bir yazım biçimi kullanman işine yarayabilir.*

 
--------------------------
$A$ kümesindeki bir $\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ dizisinin $A$'nın dışındaki bir $a\in X-A$ noktasına yakınsadığını varsayalım.

Her $\varepsilon$ için öyle bir $n_{\varepsilon}$ bulabilirim ki, dizideki  $a_{n_{\varepsilon}}$ elemanı $B(a,\varepsilon)$ açıkyuvarının içine düşer.)

Diğer yandan $A$ metrik uzaydaki bir kompakt küme olduğundan kapalı olmalı ($X$ Hausdorrf) . Yani $X-A$ kümemiz açık olmalı.  $a$ elemanı varsayımıız gereği  $X-A$ kümesinde olduğundan, öyle bir $\varepsilon_0$ için $B(a,\varepsilon_0)$ açık yuvarı tamamen $\subset X-A$ kümesinin içinde kalır.

Yukarıdaki gözlemimiz gereği $a{n_{\varepsilon_0}}$ biçiminde $B(a,\varepsilon_0)\subset (X-A)$ açıkyuvarının içinde kalan bir eleman bulunur. O halde $a{n_{\varepsilon_0}}$ elemanı $A\cap (X-A)$ kesişimindedir. Ama çok açık ki bu kesişim boşküme ve hiçbir elemana sahip olamaz. Çelişki, o halde tek varsayımımız olan $a\notin A$ varsayımımız yanlış olmalı.
-----------------------------
 

Benim ispatımın senin ispatından içerik olarak neredeyse hiç farkı yok. Sorum şu, kendi ispatından emin değildin, peki benim ispatımı okuyunca doğruluğuna kendin ikna olabiliyor musun? Sence benim ispatım doğru mu?

*Tek bir doğru yazım biçimi yok elbette, ama ne kadar açık olursa, anlışılması da o kadar kolaylaşıyor.

---

sanırım ispat yanlış. biz böyle bir dizinin varlığını kabul edip A'nın dışındaki bir noktaya yakınsayamayacağını gösterdik ama dizinin varlığını da göstermemiz gerekiyor

---

Haklısın gbisin ama değilsin. İspat doğru çünkü yakınsak dizi yoksa, uzay otomatikman dizisel kompakt olmaz mı?

---

yakınsak dizi yoksa kümemiz boş olmalı. diğer türlü en kötü ihtimalle tek elemanlı olurdu biz de $x_1, x_1...$ dizisi inşa ederdik. boş küme de $X$'te kapalı  küme olduğundan kompakttır o halde.

---

Yakinsak dizi yoksa küme bos küme değildir. Reel sayıların sonlu bir altkumesinde bir yerden sonra sabit olmayan hiçbir yakinsak dizi yoktur.

---

Tüm terimleri $A$ da olan HERHANGI bir dizi ile başlamalısın.

---

Hocam yakinsak bir diziyle başlamak da olmaz mı?

---

Tanımı bu olduğuna göre:

"Eğer A içinde herhangi bir dizinin A içinde bir noktaya yakınsayan bir altdizisi varsa A'ya kendi içinde dizisel kompakttır denir."

---

Benim kafam acaba nereye gitti? Nasıl sacmalamisim belli değil.

---

Çok utandim, baya yüzüm kızardı. Kepazelik valla.

---

Bazan bana da oluyor :-)

---

Tamamlanması gereken bir ispat taslağı yazdım justkrm, sen de eksik bıraktığım kısımları doldurup yanıt yazmaya çalış bence. Bak yazmaya çalıştıkça öğreniyoruz belli ki.

---

bir cevap yazdım umarım doldurabilmişimdir

Answer 1

Bunun yanıtını benim yazmam farz oldu.
 
$({a_n})_{n\in \mathbb{N}}$ rastgele bir dizi olsun. Amacımız, bu dizinin $A$ içinde bir noktaya yakınsayan bir altdizisi olduğunu göstermek. $A$'daki her noktanın çevresindeki $1$ yarıçaplı açıkyuvarlara bakalım. Bu açıkyuvarlar $A$'yı kapsayacak. $A$ kompakt olduğu için bu açık yuvarların sonlu tanesi $B_1,\dots,B_{k_1}$ bizim kümemiz $A$'yı kapsayacaktır. Bu açıkyuvarlardan en az bir tanesinde sonsuz sayıda $i\in\mathbb{N}$ için $a_i$ elemanı bulunmalı. Bu açıkyuvarın genelliği kaybetmeden $B_1$( bundan sonra $A_1$ diyeceğim bu kümeye) olduğunu varsayabiliriz.

Altdizimiz ilk elemanı $A$ içindeki en düşük indeksili dizi elemanı olsun. Buna $a_{n_1}$ diyelim.

Şimdi aynı argümanı $A_1$'in kapanışı için yapacağız. Kompakt bir kümenin kapalı bir altkümesi olduğu için $A_1$'in kapanışı da kompakt olacak. Şimdi $A_1$'i yarıçapı $1/2$ olan açıkyuvarlarla kaplayalım. Bu açıkyuvaların sonlu tanesi $A_1$'i kapalayacak, o halde bir tanesinde dizinin sonsuz sayıda elemanı olacak. İçinde sonsuz sayıda dizi elemanı olan bu açıkyuvara $A_2$ diyelim ve burada indeksi ${n_1}$'den büyük en küçük indeksili dizi elemanını alıp, altdizimizin ikinci elemanı yapalım.

Bu şekilde oluşturacağımız dizi bir Cauchy dizisi olacaktır ve kapalı bir kümedeki Cauchy dizileri yakınsak olmak zorundadır. Doğal olarak yakınsayan bir altdizi elde ettik.

Answer 2

$a_n$ A içerisinde herhangi bir dizi olsun. $a_n$ sonluysa otomatikman yakınsaktır. bu iddayı şöyle kanıtlayayım:

her $\varepsilon > 0$ için bir $m \in  \mathbb{N}$ varsa öyle ki her $n \geq m$ için  $d(a_n,a)< \varepsilon$ sağlanıyorsa dizi yakınsıyor demekti. biz her $\varepsilon$ için $a_m$ dizimizin son terimi olmak üzere  $n=m$ alırsak $d(a_m,a_m)= 0< \varepsilon$

şimdi de $a_n$ sonsuz olsun. $A$ kompakt olduğundan her açık örtüsünün sonlu bir altörtüsü vardır. bu sonlu altörtüye $U_1,U_2...U_n$ diyelim.

A=$\bigcup_{i=1}^{n} U_i$

dizimiz sonsuz olduğundan $U_i$'lerin en az birinde sonsuz tane eleman var. bu küme $U_1$ olsun.

o halde $\varepsilon=1$ yarıçaplı, a merkezli açıkyuvar için

bir $a_1 \in B(a,1)$

bu kümede sonsuz sayıda eleman varsa, $\varepsilon=\frac{1}{2}$ için

bir $a_2 \in B(a,\frac{1}{2})$ var.

.

.

.

$\varepsilon = \frac{1}{n}$ için de, $a_n \in B(a,\frac{1}{n})$

n i sonsuza götürürsek $d(a_n,a) \rightarrow 0$ dolayısıyla  $a_n \rightarrow a$'dır. kanıt biter.