M={(x,y,z)∈ E^3|4x^2+y^2+z^2=1}yüzeyinin noktalarının karakterini belirleyiniz.

Question

Çözüm:   Burdaki soruda noktaların eliptik,hiperbolik ya da parabolik mi olduğuna karar vermem gerekiyor.

<!--[if gte msEquation 12]>E3<![endif]--><!--[if gte vml 1]> <![endif]--> deki bu yüzey bir elipsoiddir.Bunu notlarımdan biliyorum.

Ama bunu gösterebilmem için bir nokta bulmam gerekiyor.Noktayı bulamadım.Ayrıca

K(P)>0 ise P noktası yüzeyin bir eliptik noktası oluyor.Bunu nasıl göstereceğim bilmiyorum.

Comments

K Gauss egriligini hesaplamalisiniz. Bunun icin şekil operatoru matrisini bulun. Bunun icin de denklemi parametrik yazmalisiniz.Bu matrisin determinanti gauss egriligidir. Her yerde $K\gt 0$ olacak sanirim.Bir de sorunuz tam okunmuyor. Duzenleyin lutfen.

---

Tamam o zaman  şekil operatörünü hesaplamam gerekiyor.Onu anladım ama verilen yüzeyi nasıl parametrik hale çevirebilirim?x=sinu desem y=2cosu z=kök -3  olarak alsam olur mu?

---

Yüzey olduğu için iki parametre kullanmalısınız $x=\dfrac{1}{2} cosucosv$ $y=cosusinv$ ve $z=sinu$ alın.

---

Verdeiğiniz x ve y parametrelerine göre z=sinu olması gerekmiyor mu?

---

sinu olarakta alınca ortogonal olmuyor

---

Evet öyle olmalı yanlış yazmışım, düzeltim. Ortogonal parametreleme olmadan şekil operatörü matrisini bulamaz mısınız?

---

Onu nasıl yapacağımı bilmiyorum.Şu ana kadar hep ortogonal olanlarda şekil operatörü hesabı yaptık.Ortogonaldeki gibi mi işlem yapıcaz?

---

Ben şimdi şeyi denedim gauss eğriliği hesaı için farklı bir metod yani K nın bir formülü var onu uyguladım ve burdan sıfır çıktı o halde bu yüzey parabolik mi oluyor?

---

$K\gt 0$ bulmalısınız. $grad f=2(4x,y,z)$   ve  $Z=(4x,y,z)$ alın. Teğet uzayın bazını elde etmeye çalışıyoruz. $Z$ ye dik iki lineer bağımsız vektör seçersek bunlar teğet uzayda olurlar. Mesela $X=(y/4,-x,0)$, $Y=(z/4,0,-x)$ alırsanız Z  ye dik  ve lineer bağımsız olduklarından baz olarak alınabilirler. Şimdi bunları verdiğiniz formülde yerine yazın.

---

K değerini buldum.Ama bu şekilde çıktı doğru mu acaba?

---

Evet ben de böyle buldum. Bunları cevap olarak paylaşırsanız güzel olur. Ama latex kullanın lütfen.

---

Tamam bundan sonra kullanmaya çalışıcam.Çok teşekkür ederim