Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
814 kez görüntülendi
Maxwell denklemlerinin Galilei transformasyonlari altinda sabit olmadigini gosterin
Akademik Fizik kategorisinde (1.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 814 kez görüntülendi
Maxwell Denklemleri
 

Sıradan bir gözlemci S için Maxwell Denklemleri,

E=ρϵ0
 

B=0
 

×E=Bt
 

×B=μ0J+μ0ϵ0Et

şeklindedir. Lorentz Kuvveti,
 

F=Q[E+v×B]
 

ve Yerel yük korunum denklemi de
 

J+ρt=0

dir. Peki S ye göre sabit uˆx hıza sahip S bu Maxwell Denklemleri Galileo Dönüşümleri için korunur mu? Ya da referansımızı S den S getirdiğimizde EM denklemleri geçerli midir? Bu durumu anlamak için, Galileo Dönüşümlerini yapıp S de
E=ρϵ0
B=0
×E=Bt
×B=μ0J+μ0ϵ0Et
denklemlerin geçerliliğini sınayacağız.
Galieo Dönüşümleri
 

Bu dönşümlerde kütle ve elektriksel yük miktarı değişmediği varsayılır. Bu varsayım Newton'un Dinamik İlkesine dayanır.
 

F=ma
 

bu ilke eylemsiz referans sistemine göre \Veca aynı olacağından kütle değişmez. Aynı durum yük için de geçerlidir. Değişmeyen bu iki niceliğe zaman parametresi de eklenir.

 

S için koordinatlar
 

r=(x,y,z)
 

iken,
 

S ya göre sabit uˆx hızına sahip S için koordinatlar
 

r=(x,y,z)
 

dir.

S ile S nin Galileo Dönüşümü,
 

r=r+ut
 

x=xut
˙x=˙xu˙t
[v=vu]ˆx
y=y
z=z
t=t
m=m
Q=Q
şeklindedir. y ve z nin hızlarının da eş olduğu aşikardır.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Yukarıdaki Yorumların Işığında

{ ve   durumu}

S de işlemci ,

=(x,y,z)

iken, S de işlemci
=(x,y,z)

dır. Galileo Dönüşümlerinden y ve z de sıkıntı olmadığı aşikardır. x ile ilgilenelim. u hızı sabit olduğundan

x=x

olur ve bu da,
işlemci bu dönüşümde,
=
şeklinde değişmediğini söyler.
\newpage
\subsection{ρ ile ρ}
Bu korunumun sonuucu, bu sonsuz küçük dv hacim işlemcisinin de sabit kalması ve S ve S için hesaplanacak hacimlerin
v=dv
v=dv
den
v=v
eşit olduğudur. Hacimlerin eşit olması, m ve Q yu kendiliğinden değişmez sayan bu dönüşümlerde, birim hacim başına düşen yük miktarı olan yük yoğunluğu ρ nun da değişmediğini gösterir. Yani,
v=v
eşitliğinden,
ρ=Qv
ρ=Qv
ρ=ρ
olur.
 

 

{t ve t durumu}
 

Dönüşümlerin hız dönüşümlerini ele alalım.
 

v=dxdt
 

v=dxdt
 

xt=xtu
 

olur. Buradan,
 

t=t+u
 

sonucuna varırız.

Peki J ile J ye ne olur?}
 

Akım yoğunluğu vektörü tanımı gereği hacimsel yük yoğunluğu çarpı hız olduğundan,
 

S de
 

J=ρv
 

S de
 

J=ρv
 

dir.
v=vu
 

den,
 

J=ρvρu
 

ve sonuç olarak da Galileo Dönüşümleri altında akım yoğunluğu vektörü
 

J=Jρu
şekilde dönüşür.

{E,E ve B,B dönüşümü}
 

Yük değişmezliğini kullanarak, Lorentz Kuvveti değişmeyeceğini
 

F=F
 

Q[E+v×B]=Q[E+v×B]
 

ve
 

E+v×B=E+v×B
v=vu
 

yi kullanarak eşitliği yazarsak
 

E+v×Bu×B=E+v×B
 

E+v×(BB)=E+u×B
 

denkliğini elde ederiz. Bu son ifade de özel bir referans sistemine bağlı olmak zorunda değiliz, yani hız sıfır da olabilir. Bu yüzden manyetik alanın korunduğunu varsayarak,
 

B=B
 

yazdığımızda denklem,
 

E=E+u×B
 

haline dönüşür.
 

Maxwell Denklemlerinin Sınanması

Bu kısımda, S deki Maxwell Denklemlerine tüm lü niceliklere S deki karşılıkları olan,
E=E+u×B
 

B=B
 

J=Jρu
 

t=t+u
 

ρ=ρ
 

=
 

ifadeleri cinsinden yazıp denklemlerin Galileo Dönşümleri altında muhafaza edilip edilmediğini sınayacağız.
Gilbert Yasası B=0}

B=0
 

 

B=B=0
 

yazdığımızda dönüşüm altında yasa değişmez.

{Faraday Yasası ×E+Bt=0}
 

×E+Bt=0
 

 

×[E+u×B]+Bt+[u]B=0
 

Parantez içlerine dağıtma ve toparlarsak,
 

(×E+Bt)+×[u×B]+[u]B=0
 

elde ettiğimiz ifadenin ilk parantezli ifadesi S de Faraday Yasasıdır ve bu parantezli kısım aslında 0 eşit olsa da görüntü olarak bize eşlik edecek. Sondaki terime dokunmayıp, ortadaki terimi vektör çarpım kuralıyla
 

×[u×B]=u[B]B[u]+[B]u[u]B
 

 

(×E+Bt)+u[B]B[u]+[B]u[u]B+[u]B=0
 

şeklinde yazdığımızda, son iki terimin birbirini götürdüğü ve 3.terimin
 

B=0 Gilbert Yasasınca gittiğini gözlemleriz ve yeniden
 

(×E+Bt)B[u]+[B]u=0
 

olarak yazarız. Parantez dışında kalan iki ifadeyi inceleyelim.
 

B[u]
 

ifadesinin iç kısmında u sabit olduğu için skaler türev işlemcisiyle iç çarpımı
 

u=0
 

olur.
 

[B]u
 

ifadesindeki parantez içindeki B yönlü türev işlemcisidir, yani büyüklüğü |B| kadar ve yönü B nin yönünde bir vektördür. Bu durumda B işlemcisinin de sabit u ile etkileşiminin sonucu
 

[B]u=0
 

olacaktır. (65) ve (68) i (64) de düşündüğümüzde, elimizde
 

×E+Bt=0
kalır ve anlarız ki Faraday Yasası da Galileo Dönüşümleri altında değişmezdir.

{Gauss Yasası Eρϵ0=0}
 

Eρϵ0=0
 

denklemin (51), (55) ve (56) dönüşümlerini yaptığımızda,
 

[E+u×B]ρϵ0=0
 

ı elde eder ve parantez içini açıp düzenlersek,
 

(Eρϵ0)+[u×B]=0
 

ifadesinde ilk parantezli kısmın aslında Gauss Yasası olduğunu ve değerinin 0 olduğunu biliriz. Galileo Dönüşümlerinin Gauss Yasasını değişmez bırakması için gerek ve yeter şart,
 

[u×B]=0
 

olmasıdır. Ne var ki, B=[x,z,2y] ve u=[1,0,0] şeklinde seçilip (75) i
 

[u×B]=[[1,0,0]×[x,z,y]]
 

[0,2y,z]=(x,y,z)[0,2y,z]
 

[0,2y,z]=0x+2yy+zz=02+1=10
 

şeklinde her koşulda doğru olmadığını karşı örnek vererek gösteririz. Bu da, Galileo Dönüşümleri altında Gauss Yasasının değişmez olmadığını anlamına gelir. Haliyle
 

Eρϵ00
olur ve S da bu denklem,
 

Eρϵ0=(Eρϵ0)+[u×B]
 

halini alır.
 

{Ampere Yasası ×Bμ0Jμ0ϵ0Et=0}
 

×Bμ0Jμ0ϵ0Et=0
 

×Bμ0J+μ0ρuμ0ϵ0(t+(u))(E+u×B)=0
 

Denklemde parantezleri açıp S deki ifadeyi de toplu olarak yazarsak,
 

(×Bμ0Jμ0ϵ0Et)+μ0ρuμ0ϵ0((u×B)t+(u))E+(u)(u×B))=0
 

uzun ifadesini elde ederiz. Burada ilk parantezli kısım, yasanın S deki hali olduğundan denklemden sildiğimizde denklem,
 

μ0ρuμ0ϵ0((u×B)t+(u))E+(u)(u×B))=0
 

a dönüşür ama bu da karar için hala karışık sayılır. İfadenin sonundaki terimi inceleyelim,
 

(u)(u×B)
 

ifadesindeki (u), sabit u vektörünün yönündedir. Dış çarpımın özelliğinden (u×B) ise u vektörüne diktir. Bu durumda (u)(u×B)=0
 

olur. Bu katkıyı da silerek denklem,
 

μ0ρuμ0ϵ0((u×B)t+(u))E)=0
 

haline gelir. Bu ifadenin son kısmını da inceleyelim,
 

(u)E
 

u ifadesi, u in yönünde bir yönlü türev işlemcisidir ve iç çarpımları da yaparak (86)
 

|u|ˆxExx
 

olur. Bu ˆx deki elektrik

alan türevi, Gauss Yasasının ˆx deki katkısını verir. Bu katkıyı tüm elektrik akının etkisi saydığımızı düşünüp,
 

|u|ˆxExxuE=u1ϵ0ρ
 

şeklinde ifade edebiliriz. Bu özel durumu (82) de yerine yazdığımızda,
 

μ0ρuμ0ϵ0((u×B)t+u1ϵ0ρ)=0
 

ve gerekli sadeleştirmeler de yapılarak,
 

μ0ρuμ0ϵ0(u×B)t+μ0uρ=0
 

ve
 

μ0ϵ0(u×B)t=0
 

ifadesini elde ederiz. Burada B zamana bağlı ve u ye dik seçildiğinde ifade denkliği sağlamaz. 0 halde, Galileo dönüşümleri altında Ampere Yasasının da değişmez olmadığını göstermiş olduk.
(156 puan) tarafından 
Maxwell yasalarinin Lorentz transformasyonlari altindaki davranisi.
Metinde bazı denklem numaraları var fakat denklemleri numarasız. Ayrıca, denklemler asındaki büyük boşluklar (yalnız ben mi görüyorum?) okunmayı zorlaştırıyor.
Haklısınız . Aslında Overleaf Kullanarak yazarken kendime numaralandırmıştım Latex de. Buraya dönüştürürken beceremedim. Fakat yenileyeceğim. Bir de bir şey sorayım çözümü yaptığım pdf yi burada yoruma bırakbilir miyim?
Newton yasalarinin Galilei transformasyonlari altindaki davranisi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,933 kullanıcı