Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
752 kez görüntülendi
Son zamanlarda burda çok sorulduğundan Lorentz Dönüşümünü yazmaya çalıştım.

Amaç,

 

x=ax+bt


t=dx+ft


için bir lineer dönüşüm yapmak.

Bu dönüşümde

x=x=0


t=t=0


yi ayarlayarak,  a, b, d, f katsayılarını genelliği bozmadan bulmaya çalıştım.
Akademik Fizik kategorisinde (156 puan) tarafından  | 752 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme






Üssüz S sistemine göre sabit v hızıyla giden üslü S sistemi arasında bir dönüşüm nasıl yapılır?

Sorunu çözerken ışık hızı c nin tüm eylemsiz referans sistemleri için hızının sabit olduğunu kabul edelim. Bir de sadece yazım kolaylığı olsun diye v yi ˆx de ele alalım.

Amacımız S daki (x,t) için S den doğrusal bir dönüşüm yazmak. Daha sembolik hali ise:
x=ax+bt


t=dx+ft

deki a, b, d ve f yi hesaplamak.

Tabii ki de
y=y

z=z

olduğu aşikardır.
{Lorentz Dönüşümü}
Başlangıç anı için saat ve başlangıç noktalarını,
x=x=0

t=t=0

şeklinde ayarlarlayalım.
x=ax+bt

denkleminde üslü koordinatların kendisi için başlangıç noktası x=0 olduğunda üssüz için bu nokta x=vt olacağaından son denklik
x=0=avt+bt

den
b=av

ve denklem,
x=axavt=a(xvt)

Diyelim ki bu başlangıç anaında bir ışık çakarı çaktık ve bunu gözlemliyoruz. O halde ışık iki sistem açısından,
x2+y2+z2=c2t2

x2+y2+z2=c2t2

olur. Üslü denklemde dönüşümlerimizi yazalım ve elde ettiğimiz denklemi üssüz denkleme eşitleyelim.
(a(xvt))2+y2+z2=c2(dx+ft)2

(a2c2d2)x22(va2+c2fd)tx+y2+z2=(c2f2a2v2)t2

Bu son denklemi,
x2+y2+z2=c2t2

ile kıyasladığımızda,
a2c2d2=1

va2+c2fd=0

c2f2a2v2=c2

Son üç denklemin ilk ikisinde
d2=1c2(a21)

d=va2c2f

d2=v2a4c4f2

d yi eleyerek,
v2a4c4f2=1c2(a21)

v2a4c2f2=a21

c2f2=a2v2+c2

şeklinde yazıp son denklemde yerine yazalım.
v2a4a2v2+c2=a21

a2c2+a4v2c2a2v2=v2a4

a2c2c2a2v2=0

a=11v2c2

olur. Bu sonucu,
c2f2=a2v2+c2

ye yerleştirdiğimizde,
c2f2=c2c2v2v2+c2

f2=c2c2v2=a2

olur ve f yi pozitif seçersek,
a=f olur. d için de bulduklarımızı
va2+c2fd=0

ye yerleştirirsek,
d=vc211v2c2


Böyle Lorentz Dönüşümleri,


x=xvt1v2c2

t=vc2x+t1v2c2


βvc

γ11v2c2

tanımlarıyla Lorentz Dönüşümleri,
x=γ(xvt)

y=y

z=z

t=γ(βcx+t)


olur.

Benzer şekilde bu dönüşümlerin ters Lorentz Dönüşümleri de

x=γ(x+vt)

y=y

z=z

t=γ(βcx+t)

 

şeklinde olur.


Kaynakça

Leonard Eyges, The Classical Electromagnetic Field, Chapter12

Landau, Classical Field, Chapter 1

 

(156 puan) tarafından 
Hızların Lorentz Dönüşümlerini Çıkartılışı
20,295 soru
21,836 cevap
73,540 yorum
2,697,156 kullanıcı