Üssüz S sistemine göre sabit →v hızıyla giden üslü S′ sistemi arasında bir dönüşüm nasıl yapılır?
Sorunu çözerken ışık hızı c nin tüm eylemsiz referans sistemleri için hızının sabit olduğunu kabul edelim. Bir de sadece yazım kolaylığı olsun diye →v yi ˆx de ele alalım.
Amacımız S′ daki (x′,t′) için S den doğrusal bir dönüşüm yazmak. Daha sembolik hali ise:
x′=ax+bt
t′=dx+ft
deki
a,
b,
d ve
f yi hesaplamak.
Tabii ki de
y′=y
z′=z
olduğu aşikardır.
{Lorentz Dönüşümü}
Başlangıç anı için saat ve başlangıç noktalarını,
x′=x=0
t′=t=0
şeklinde ayarlarlayalım.
x′=ax+bt
denkleminde üslü koordinatların kendisi için başlangıç noktası
x′=0 olduğunda üssüz için bu nokta
x=vt olacağaından son denklik
x′=0=avt+bt
den
b=−av
ve denklem,
x′=ax−avt=a(x−vt)
Diyelim ki bu başlangıç anaında bir ışık çakarı çaktık ve bunu gözlemliyoruz. O halde ışık iki sistem açısından,
x2+y2+z2=c2t2
x′2+y′2+z′2=c2t′2
olur. Üslü denklemde dönüşümlerimizi yazalım ve elde ettiğimiz denklemi üssüz denkleme eşitleyelim.
(a(x−vt))2+y2+z2=c2(dx+ft)2
(a2−c2d2)x2−2(va2+c2fd)tx+y2+z2=(c2f2−a2v2)t2
Bu son denklemi,
x2+y2+z2=c2t2
ile kıyasladığımızda,
a2−c2d2=1
va2+c2fd=0
c2f2−a2v2=c2
Son üç denklemin ilk ikisinde
d2=1c2(a2−1)
d=−va2c2f
d2=v2a4c4f2
d yi eleyerek,
v2a4c4f2=1c2(a2−1)
v2a4c2f2=a2−1
c2f2=a2v2+c2
şeklinde yazıp son denklemde yerine yazalım.
v2a4a2v2+c2=a2−1
a2c2+a4v2−c2−a2v2=v2a4
a2c2−c2−a2v2=0
a=1√1−v2c2
olur. Bu sonucu,
c2f2=a2v2+c2
ye yerleştirdiğimizde,
c2f2=c2c2−v2v2+c2
f2=c2c2−v2=a2
olur ve
f yi pozitif seçersek,
a=f olur.
d için de bulduklarımızı
va2+c2fd=0
ye yerleştirirsek,
d=−vc21√1−v2c2
Böyle Lorentz Dönüşümleri,
x′=x−vt√1−v2c2
t′=−vc2x+t√1−v2c2
β≡vc
γ≡1√1−v2c2
tanımlarıyla Lorentz Dönüşümleri,
x′=γ(x−vt)
y′=y
z′=z
t′=γ(−βcx+t)
olur.
Benzer şekilde bu dönüşümlerin ters Lorentz Dönüşümleri de
x=γ(x′+vt)
y=y′
z=z′
t=γ(βcx′+t′)
şeklinde olur.
Kaynakça
Leonard Eyges, The Classical Electromagnetic Field, Chapter12
Landau, Classical Field, Chapter 1