Haluk Beker anısına ....
Lorentz Dönüşümleri uyarınca,
K0 ve L0 skalarları gösterecek şekilde inşa edilen iki 4-Vektör [K]=(K0,→K) ve [L]=(L0,→L) nin Minkowski Skalar Çarpımı [K|L] ile gösterilir ve [K|L]=K0L0−→K⋅→L halini alır.
Örnek: Konum →r ve zamana →t 4-vektör inşası
Özel Görelilik Uyarınca, Sabit hıza sahip iki gözlemci için x2+y2+z2=c2t2 ve x′2+y′2+z′2=c2t′2 oluşu, c2t′2−(x′2+y′2+z′2)=c2t′2−(x′2+y′2+z′2) eşitliğini, bu eşitlik de tüm sabit hızlı hareketler için c2t′2−r2 yi değişmez kılar. Bu şekilde skalar ct ile 3 boyulu konum vektörü →r , [X]=(ct,→r) şeklinde bir uzay-zaman 4-Vektörüne sahip olur.
Maxwell Denklemlerinde (MD) ise değişmezliği sağlamak içinse (MD) belirleyen değişkenleri birbirleriyle 4-Vektör şeklinde yazmak yeterli olacaktır. Doğası gereği (MD) ,
1- Elektrik ve manyetik alanı
2- Yük ve akım yoğunluğu
3- Konum ve zaman türev işlemcilerinden oluşur
Bu 3 ikilinin de Lorentz Sabitleri varsa (MD) de bu dönüşümlerde korunacaktır.
Gilbert Yasası →∇⋅→B=0 da, →B=→∇×→A tanımlamanın matematik açısından sakıncasının olmayışıyla, →A yı Vektör Potansiyeli olarak tanımlarız. Manyetik alana yaptığımız yeni tanımı Faraday Yasasına →∇×→E=−∂∂t→∇×→A yerleştirip →∇×(→E+∂→A∂t)=0 elde edilir. Son çarpımı herhangi skaler alanın türevi cinsinden →E+∂→A∂t=−→∇(cA0) yazabiliriz. Bu durumda elektrik alan, →E=−∂→A∂t−→∇(cA0) halini alır. Bu son elektrik ve manyetik alan tanımlarını, Gauss ve Ampere Yasalarına yazalım.
Gauss →∇⋅(−∂→A∂t−→∇(cA0))=1ϵ0ρ
Ampere →∇×(→∇×→A)=→∇(→∇⋅→A)−∇2→A=μ0→J+1c2∂∂t(−∂→A∂t−→∇(cA0))
Ampere yasasının biraz toparlarsak,
→∇(→∇⋅→A)−∇2→A+1c2∂2∂t2→A+1c∂∂t→∇(A0)=μ0→J
İfadedeki 1. ve 4. terimin toplamını Lorentz Sabiti ve türevini de sıfır seçerek
1c∂∂t(A0)+→∇⋅→A=0
olur ve elimizde
1c2∂2∂t2→A−∇2→A=μ0→J
kalır. Bu son ifadeyi de
[1c2∂2∂t2−∇2]→A=μ0→J
Bu elde edilen ifadede, [1c2∂2∂t2−∇2=(1c∂∂t)(1c∂∂t)−→∇⋅→∇] ne eşit olduğundan türev operatörünün 4-Vektörü, 4- Nabla : ◻=(1c∂∂t,∇) olarak tanımlanır.
Benzer şekilde, Gauss Yasasında,
→∇⋅(−∂→A∂t−→∇(cA0))=1ϵ0ρ
−∇2(cA0)−∂→∇⋅→A∂t=1ϵ0ρ
Lorentz Değişmez Seçiminden, →∇⋅→A=−1c∂∂t(A0) kullanarak, elimizdeki yasayı
−c∇2A0+1c∂2∂t2A0=1ϵ0ρ den ifadeyi 1c ve ifadenin sol kısmına da μ0μ0 operasyonunu yaparsak
[1c2∂2∂t2−∇2]A0=μ0cϵ0μ0ρ$
[1c2∂2∂t2−∇2]A0=μ0(cρ)$
ifadesini elde ederiz. (cρ)≡→J0 diye tanımlarsak,
[1c2∂2∂t2−∇2]A0=μ0→J0$
denklemi,
[1c2∂2∂t2−∇2]→A=μ0→J
vektör alanlarının skaları olur. Böylece, vektör alanları için [A]=(A0,→A) ve akım yoğunları
[J]=(cρ,→J) 4-Vektör olurlar.
Böylece Maxwell Denklemleri
Lorentz Dönüşümlerinin altında değişmez kalır.
Kaynakça
Leonard Eyges, The Classical Electromagnetic Field, Addison-Wesley Publishing Company
Haluk Beker, EMT ders notları, http://www.phys.boun.edu.tr/~beker/wp-content/uploads/2018/12/EM2.pdf