Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
497 kez görüntülendi
Maxwell yasalarinin Lorenz transofrmasyonlari altinda degismez oldugunu gosterin.
Akademik Fizik kategorisinde (1.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 497 kez görüntülendi

Bu soru cevaplanmadı mı? İşte soru

ayni soru degil. Bu soruda Maxwell yasalarinin Lorentz transformasyonlari altinda sabit kaldigini gorecegiz. Galilei transformasyonlari altinda sabit degillerdi ama. Yani Galilei transformasyonlari gecerli olsaydi hareket eden bir gozlemciye gore fizik yasalari degisecekti

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

 

 

Haluk Beker anısına ....

 

Lorentz Dönüşümleri uyarınca,

$K_{0}$ ve $L_{0}$ skalarları gösterecek şekilde inşa edilen iki 4-Vektör  $ [K] = (K_{0}, \vec{K} ) $ ve $ [L] = (L_{0}, \vec{L} ) $ nin  Minkowski Skalar Çarpımı   $[K|L]$  ile gösterilir ve  $[K|L] =  K_{0}L_{0} - \vec{K} \cdot \vec{L} $  halini alır. 

Örnek:     Konum $\vec{r}$ ve zamana $\vec{t}$ 4-vektör inşası

Özel Görelilik Uyarınca, Sabit hıza sahip iki gözlemci için $x^2+y^2+z^2= c^2 t^2$ ve $x'^2+y'^2+z'^2= c^2 t'^2$ oluşu, $ c^2 t'^2  - (x'^2+y'^2+z'^2) = c^2 t'^2 - (x'^2+y'^2+z'^2) $  eşitliğini, bu eşitlik de tüm sabit hızlı hareketler için $ c^2 t'^2 - r^2  $ yi değişmez kılar. Bu şekilde skalar $ct$ ile 3 boyulu konum vektörü $\vec{r}$ ,  $[X] = (ct,\vec{r})$ şeklinde bir uzay-zaman 4-Vektörüne sahip olur.

Maxwell Denklemlerinde (MD) ise değişmezliği sağlamak içinse (MD) belirleyen değişkenleri birbirleriyle 4-Vektör şeklinde yazmak yeterli olacaktır. Doğası gereği (MD) ,

1- Elektrik ve manyetik alanı

2- Yük ve akım yoğunluğu

3- Konum ve zaman türev işlemcilerinden oluşur 

Bu 3 ikilinin de Lorentz Sabitleri varsa (MD) de bu dönüşümlerde korunacaktır.

 

Gilbert Yasası $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 $ da, $ \vec{B} =  \vec{\nabla} \times \vec{A}$ tanımlamanın  matematik açısından sakıncasının olmayışıyla, $\vec{A}$ yı Vektör Potansiyeli olarak tanımlarız. Manyetik alana yaptığımız yeni tanımı Faraday Yasasına $\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \dfrac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \times \vec{A}$ yerleştirip $\vec{\nabla} \times (\vec{E} +\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} ) = 0$ elde edilir.  Son çarpımı herhangi skaler alanın türevi cinsinden $\vec{E} +\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}  = - \vec{\nabla} (cA_0)$ yazabiliriz. Bu durumda elektrik alan, $\vec{E}  = - \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}  - \vec{\nabla} (cA_0)$ halini alır. Bu son elektrik ve manyetik alan tanımlarını, Gauss  ve  Ampere Yasalarına yazalım.

Gauss  $\vec{\nabla} \cdot (- \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}  - \vec{\nabla} (cA_0))  =  \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho $

Ampere  $\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A})   = \vec{\nabla}  (\vec{\nabla} \cdot \vec{A})  -   \nabla^2 \vec{A} = \mu_{0} \vec{J}  + \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial}{\partial t} (- \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}  - \vec{\nabla} (cA_0))  $  

Ampere yasasının biraz toparlarsak,

$ \vec{\nabla}  (\vec{\nabla} \cdot \vec{A})  -   \nabla^2 \vec{A}  +  \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{A}   + \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t}   \vec{\nabla} (A_0) = \mu_{0} \vec{J}  $

İfadedeki $1.$ ve $4.$ terimin toplamını Lorentz Sabiti ve türevini de sıfır seçerek

$    \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t} (A_0) + \vec{\nabla} \cdot \vec{A}     = 0  $

olur ve elimizde

$  \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{A} -   \nabla^2 \vec{A}     =  \mu_{0} \vec{J}  $

kalır. Bu son ifadeyi de 

$  [ \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} -   \nabla^2 ] \vec{A} = \mu_{0} \vec{J}  $

Bu elde edilen ifadede, $[ \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} -   \nabla^2  =  (\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t}) (\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t}) -   \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}  ] $ ne eşit olduğundan türev operatörünün 4-Vektörü,  4- Nabla : $\square = (\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t} ,  \nabla )$ olarak tanımlanır. 

Benzer şekilde, Gauss Yasasında,

  $\vec{\nabla} \cdot (- \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}  - \vec{\nabla} (cA_0))  =  \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho $ 

 $  - \nabla^2 (cA_0)  -  \dfrac{\partial \vec{\nabla} \cdot \vec{A}}{\partial t}    =  \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho $

Lorentz Değişmez Seçiminden, $   \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = -  \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t} (A_0)  $ kullanarak, elimizdeki yasayı

$ - c \nabla^2 A_{0} + \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} A_{0} = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho  $   den ifadeyi $\dfrac{1}{c}$  ve ifadenin sol kısmına da $\dfrac{\mu_0}{\mu_0}$ operasyonunu yaparsak

$ [\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} -  \nabla^2]  A_{0} = \dfrac{\mu_0}{ c \epsilon_{0} \mu_0} \rho  $$

$ [\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} -  \nabla^2]  A_{0} = \mu_0   (c  \rho)  $$

ifadesini elde ederiz. $(c  \rho) \equiv \vec{J_{0}}$ diye tanımlarsak,

$ [\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} -  \nabla^2]  A_{0} = \mu_0   \vec{J_{0}}  $$

denklemi,

$  [ \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} -   \nabla^2 ] \vec{A} = \mu_{0} \vec{J}  $

vektör alanlarının skaları olur. Böylece, vektör alanları için $[A] = (A_0 , \vec{A})$ ve akım yoğunları 

$[J] = (c \rho , \vec{J})$ 4-Vektör olurlar. 

Böylece Maxwell Denklemleri

Lorentz Dönüşümlerinin altında değişmez kalır.

 

Kaynakça

Leonard Eyges, The Classical Electromagnetic Field, Addison-Wesley Publishing Company

Haluk Beker, EMT ders notları, http://www.phys.boun.edu.tr/~beker/wp-content/uploads/2018/12/EM2.pdf

 

 

 

 

(156 puan) tarafından 
Maxwell denklemlerinden isik hizinin gozlemciye gore degismedigini gosteriniz.
Newton yasalarinin Lorentz transformasyonlari altindaki davranisi
20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,056,040 kullanıcı